[论文解读] On the Law of Large Numbers for Discrete Fourier Transform

Na Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 21

一句话总结

该论文建立了在有限 $p$ 阶矩条件下（$1 < p < 2$），同分布随机变量的离散傅里叶变换（DFT）在强大数定律下的收敛速率。该结果被推广至满足 $P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$ 的弱相依序列，证明了对几乎所有 $t \in [-\pi, \pi)$，有 $S_n(t)/n^{1/p} \to 0$ 几乎必然成立，且通过截断和鞅技巧给出了精确的矩条件与尾概率界。

ABSTRACT

We establish the rate of convergence in the strong law of large numbers of discrete Fourier Transform of the identically distributed random variables with finite moment of order p, where 1

研究动机与目标

• 将强大数定律推广至依赖随机变量的离散傅里叶变换。
• 在有限 $p$ 阶矩条件下，建立 $S_n(t)/n^{1/p}$ 的几乎必然收敛速率。
• 将结果从 i.i.d. 序列推广至满足随机优势的弱相依序列。
• 为部分 DFT 和的最大值提供基于矩的尾概率界。
• 通过 Fubini 与 Carleson 型收敛论证，统一 Baum-Katz 与 Stoica 的结果。

提出的方法

• 通过 $Y_k = X_k I\{|X_k| \leq k\}$ 截断随机变量以控制大偏差。
• 应用 Carleson 定理，证明对一个几乎处处的 $t$，有 $\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ikt}Y_k}{k}$ 几乎必然收敛。
• 使用 Kronecker 引理，推导出对几乎所有 $t$，有 $\frac{1}{n}S_n^*(t) \to 0$ 几乎必然。
• 将 $S_k(t)$ 分解为截断部分 ($S_k'$) 与余项部分 ($S_k''$)，以进行尾概率分析。
• 应用 Fubini 定理，交换 $t \in [-\pi, \pi)$ 上的积分与求和。
• 利用矩界与不等式（马尔可夫不等式、柯西-施瓦茨不等式）控制 $\mathbb{E}[|S_k'|^2]$ 与 $\mathbb{E}[|S_k''|]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 同分布随机变量的离散傅里叶变换是否满足强大数定律？
• RQ2 在有限 $p$ 阶矩条件下，$S_n(t)/n$ 对几乎所有 $t \in [-\pi, \pi)$ 收敛到零的速率是什么？
• RQ3 该结果能否推广至满足 $P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$ 但非同分布的序列？
• RQ4 何种矩条件可确保尾概率 $\sum_n n^{p/r - 2} P(\max_{k \leq n} |S_k(t)| > \epsilon n^{1/r})$ 的可求和性？
• RQ5 在几乎必然收敛与矩速率方面，DFT 行为与经典和相比如何？

主要发现

• 当 $1 < p < 2$ 时，若 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$，则对几乎所有 $t \in [-\pi, \pi)$ 及所有 $1 \leq r \leq p$，有 $\sum_{n=1}^\infty n^{p/r - 2} P(\max_{1 \leq k \leq n} |S_k(t)| > \epsilon n^{1/r}) < \infty$。
• 在相同矩条件下，对几乎所有 $t \in [-\pi, \pi)$，有 $S_n(t)/n^{1/p} \to 0$ 几乎必然成立。
• 若 $\mathbb{E}|X_1| < \infty$，即使无同分布性，只要满足 $P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$，则几乎必然对几乎所有 $t$ 有强收敛 $S_n(t)/n \to 0$。
• 该结果可推广至满足随机优势的弱相依序列，且收敛速率与尾界保持不变。
• 证明依赖于截断、Carleson 定理、Fubini 定理，以及通过 $\mathbb{E}[|X_k|^2 I\{|X_k| \leq n^{1/r}\}]$ 与 $\mathbb{E}[|X_k| I\{|X_k| > n^{1/r}\}]$ 得到的矩估计。
• 可求和性条件通过 Borel-Cantelli 引理与极大不等式论证，结合 Fubini 定理与 $t$ 上级数的可积性，最终导出结论。