[论文解读] On the leafwise cohomology and dynamical zeta functions for fiber bundles over the circle

Junhyeong Kim|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文为环面上的叶丛上同调与动力 zeta 函数的正则化行列式提供了显式公式，建立了函数方程与特殊值公式。它在具体的几何设定中实现了Deninger的猜想性动力Lefschetz迹公式，通过纤维上同调上的单值作用将横截动力系统与上同调不变量联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we give concrete descriptions of leafwise cohomology groups and show the regularized determinant expression of the dynamical zeta function for fiber bundles over $S^{1}$. As applications, we show a functional equation and some formulas for special values of the dynamical zeta function.

研究动机与目标

• 为配备1余维叶状结构的环面上的纤维丛，具体描述叶丛上同调群。
• 在该几何设定中，推导动力 zeta 函数的正则化行列式表达式。
• 利用上同调对偶性，建立动力 zeta 函数的函数方程。
• 通过单值作用的特征值分解，计算 zeta 函数的特殊值。
• 在叶状几何中，为Deninger的猜想性动力Lefschetz迹公式提供一个具体的实现。

提出的方法

• 通过闭曲面 $S$ 上微分同胚 $\varphi$ 的悬垂构造，构建环面 $S^1$ 上的纤维丛 $M$，并诱导出1余维叶状结构 $\mathcal{F}$。
• 将叶丛上同调 $H^i_{\mathcal{F}}(M)$ 表示为纤维上同调 $H^i(S, \mathbb{C})$ 与单值作用 $\varphi^*$ 的形式。
• 应用Lefschetz不动点定理，将 $S$ 上 $\mathbb{Z}$-作用的周期轨道与动力 zeta 函数 $\zeta(M;s)$ 关联起来。
• 推导出正则化行列式表达式 $\zeta(M;s) = \prod_{i=0}^d \det(1 - \varphi^* r^{-s} \mid H^{d-i}(S,\mathbb{C}))^{(-1)^{i+1}}$。
• 利用Poincaré对偶性与单值作用的对称性，证明函数方程 $\zeta(M;s) = (-r^s)^{\chi(S)} \zeta(M;-s)$。
• 通过 $\varphi^*$ 的特征值分解计算特殊值，并将其与Lefschetz数 $\Lambda(\varphi^m)$ 关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用纤维上同调显式描述环面上的曲面丛的叶丛上同调群？
• RQ2 在此设定下，动力 zeta 函数的正则化行列式表达式是什么？
• RQ3 动力 zeta 函数是否满足函数方程？若是，其对称性如何？
• RQ4 zeta 函数的特殊值如何与单值的迭代的Lefschetz数相关？
• RQ5 Deninger的猜想性动力Lefschetz迹公式能否在此例中得到具体实现？

主要发现

• 叶丛上同调群 $H^i_{\mathcal{F}}(M)$ 作为向量空间同构于 $H^i(S, \mathbb{C})$，其无穷小生成元 $\Theta$ 通过单值 $\varphi^*$ 作用。
• 动力 zeta 函数具有正则化行列式表达式 $\zeta(M;s) = \prod_{i=0}^d \det(1 - \varphi^* r^{-s} \mid H^{d-i}(S,\mathbb{C}))^{(-1)^{i+1}}$。
• zeta 函数满足函数方程 $\zeta(M;s) = (-r^s)^{\chi(S)} \zeta(M;-s)$，关于 $\mathrm{Re}(s) = 0$ 对称。
• $\zeta(M;s)$ 在 $s = k$ 处的阶为 $\mathrm{ord}_{s=k}\zeta(M;s) = \sum_i (-1)^{i+1} \dim(H^i_{\mathcal{F}}(M)^{\Theta \sim k})$。
• $s = k$ 处的特殊值为 $\zeta(M;k)^* = (\log r)^{\mathrm{ord}_{s=k}\zeta(M;s)} \exp\left(\sum_{m \geq 1} \frac{r^{-km} \Lambda(\varphi^m) + \mathrm{ord}_{s=k}\zeta(M;s)}{m}\right)$。
• Lefschetz数 $\Lambda(\varphi^m) = \sum_i (-1)^i \mathrm{tr}(\varphi^{m*} \mid H^i(S))$ 完全决定了 zeta 函数在特殊点处的对数导数。