[论文解读] On the limitations of deterministic de-randomizations for online bipartite matching and max-sat

Nicolas Pena, Allan Borodin|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文研究了在在线二分图匹配和最大-SAT问题中，确定性去随机化方法的局限性。结果表明，即使采用并行在线算法或优先级输入排序，确定性方法在二分图匹配中仍无法突破1/2的近似比，在最大-SAT问题中也无法突破3/4的近似比——在这些场景下，随机化仍是实现更优性能的理论必要条件。

ABSTRACT

The surprising results of Karp, Vazirani and Vazirani and (respectively) Buchbinder et al are examples where rather simple randomizations provide provably better approximations than the corresponding deterministic counterparts for online bipartite matching and (respectively) unconstrained non-monotone submodular maximization. We show that seemingly strong extensions of the deterministic online computation model can at best match the performance of naive randomization. More specifically, for bipartite matching, we show that in the priority model (allowing very general ways to order the input stream), we cannot improve upon the trivial 1/2-approximation achieved by any greedy maximal matching algorithm and likewise cannot improve upon this approximation by any log n/log log n number of online algorithms running in parallel. The latter result yields an improved log log n - log log log n lower bound for the number of advice bits needed. For max-sat, we adapt the recent de-randomization approach of Buchbinder and Feldman applied to the Buchbinbder et al algorithm for max-sat to obtain a deterministic 3/4-approximation algorithm using width 2n parallelism. In order to improve upon this approximation, we show that exponential width parallelism of online algorithms is necessary (in a model that is more general than what is needed for the width 2n algorithm).

研究动机与目标

• 确定在线模型的确定性扩展是否能在在线二分图匹配和最大-SAT问题中超越随机化算法的性能。
• 分析并行在线算法（宽度-k模型）和优先级模型在不使用随机化的情况下，对近似比的改进极限。
• 评估通过并行化或建议信息实现的去随机化是否能获得优于已知随机化算法的近似比。
• 为这些问题中超过基线近似比所需的最大宽度或建议位数建立紧致下界。

提出的方法

• 分析pBT模型中宽度-k并行在线算法的性能，表明常数宽度或对数多倍宽度无法在二分图匹配中实现优于1/2的近似比。
• 将Buchbinder和Feldman的去随机化技术应用于Buchbinder等人针对最大-SAT的算法，得到一个使用宽度2n的确定性3/4-近似算法。
• 证明即使在受限输入模型下，要突破最大-SAT的3/4近似比，仍需指数级宽度。
• 利用优先级模型证明，在二分图匹配中，输入排序无法弥补缺乏随机化所带来的性能限制。
• 通过将非均匀的max-of-k算法与基于建议的计算相联系，建立建议下界，表明要突破二分图匹配的1/2近似比，需要超过log log n - log log log n比特的建议信息。
• 在最大-SAT问题中，比较不同输入模型下的确定性算法，区分仅部分信息和完整信息的条款信息模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有多项式宽度的确定性并行在线算法能否在在线二分图匹配中超越1/2的近似比？
• RQ2 是否能仅通过多项式宽度的并行化实现对最大-SAT 3/4-近似算法的去随机化？
• RQ3 在在线二分图匹配中，要获得优于1/2的近似比，所需的最小宽度或建议位数是多少？
• RQ4 优先级模型或随机顺序模型能否使确定性算法超越贪心最大匹配的性能？
• RQ5 在最大-SAT问题中，输入信息（如条款长度、权重）与所需宽度之间存在怎样的权衡，才能实现超过3/4的近似比？

主要发现

• 在在线二分图匹配中，任何常数宽度或O(log n / log log n)宽度的并行算法，即使在优先级模型下拥有完整输入排序能力，也无法实现优于1/2的近似比。
• 通过去随机化Buchbinder等人提出的算法，使用宽度2n，成功构造出一个针对最大-SAT的确定性3/4-近似算法。
• 即使在精确的最大-2-SAT情形下（Johnson算法已实现3/4近似），仍需指数级宽度才能突破3/4近似比。
• 在输入模型0（信息受限）下，确定性常数宽度算法无法实现优于2/3的近似比，表明随机化或条款长度知识是必不可少的。
• 优先级模型无法帮助确定性算法在二分图匹配中突破1/2的性能瓶颈，即使具备完整的输入排序能力。
• 建议下界得到改进：由于并行在线算法的局限性，要突破二分图匹配的1/2近似比，需要超过log log n - log log log n比特的建议信息。