[论文解读] On the list decodability of random linear codes with large error rates

Mary Wootters|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文证明了随机线性码在误差半径 $(1 - 1/q - \varepsilon)$ 范围内可实现最优的列表可解码性能，列表大小为 $O(1/\varepsilon^2)$，与一般随机码的最佳已知界一致。该工作通过基于测度集中现象和码字距离的组合界，采用简化的证明方法，将码率提升至 $\Omega(\varepsilon^2)$（最优），并实现了 $1 - o(1)$ 的成功概率，优于以往结果。

ABSTRACT

It is well known that a random q-ary code of rate Ω(ε^2) is list decodable up to radius (1 - 1/q - ε) with list sizes on the order of 1/ε^2, with probability 1 - o(1). However, until recently, a similar statement about random linear codes has until remained elusive. In a recent paper, Cheraghchi, Guruswami, and Velingker show a connection between list decodability of random linear codes and the Restricted Isometry Property from compressed sensing, and use this connection to prove that a random linear code of rate Ω(ε^2 / log^3(1/ε)) achieves the list decoding properties above, with constant probability. We improve on their result to show that in fact we may take the rate to be Ω(ε^2), which is optimal, and further that the success probability is 1 - o(1), rather than constant. As an added benefit, our proof is relatively simple. Finally, we extend our methods to more general ensembles of linear codes. As an example, we show that randomly punctured Reed-Muller codes have the same list decoding properties as the original codes, even when the rate is improved to a constant.

研究动机与目标

• 弥合一般随机码与随机线性码在大错误率下的列表可解码性差距。
• 证明随机线性码在码率为 $\Omega(\varepsilon^2)$ 时，以高概率实现 $(1 - 1/q - \varepsilon, O(1/\varepsilon^2))$-列表可解码。
• 改进以往结果，后者在码率中需要对数因子，且成功概率仅为常数。
• 将该方法扩展至其他码集合，如随机删余的 Reed-Muller 码。
• 与以往依赖压缩感知联系的工作相比，提供更简化的证明。

提出的方法

• 利用测度集中现象和尾部概率界，控制接收码字附近码字的数量。
• 基于随机码字子集中平均成对距离的组合论证，对列表大小进行上界估计。
• 利用随机线性码中码字距离集中在 $1 - 1/q$ 附近的事实，实现对列表大小的控制。
• 采用 Johnson 不等式的一种变体，并估计低权重码字的数量，以推导码率与列表大小的权衡关系。
• 通过分析随机子码中接近码字的期望数量，将分析扩展至删余码。
• 利用 Reed-Muller 码的结构，对低权重码字的数量进行上界估计，并应用相同的列表可解码论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机线性码是否能在大错误率下实现与一般随机码相同的列表可解码性能？
• RQ2 是否能以高概率实现码率 $\Omega(\varepsilon^2)$，在误差半径 $(1 - 1/q - \varepsilon)$ 下完成列表解码？
• RQ3 该证明方法能否扩展至随机线性码以外的其他码集合？
• RQ4 随机删余的 Reed-Muller 码的列表可解码性如何？
• RQ5 能否将成功概率从常数提升至 $1 - o(1)$，同时保持最优码率？

主要发现

• 码率为 $\Omega(\varepsilon^2)$ 的随机线性码，以概率 $1 - o(1)$ 实现 $(1 - 1/q - \varepsilon, O(1/\varepsilon^2))$-列表可解码，达到最优码率。
• 成功概率从常数提升至 $1 - o(1)$，显著强于以往结果。
• 码率对 $\varepsilon$ 的依赖关系为最优，与列表可解码容量定理一致。
• 与依赖受限等距性质的以往方法相比，该证明更简洁直接。
• 码率为 $\Omega(\varepsilon^2)$ 的随机删余 Reed-Muller 码，保持与原码相同的列表可解码参数。
• 对于 Wozencraft 码族，该方法得到码率为 $\varepsilon^2/k$、列表大小为 $O(1/\varepsilon)$ 的列表可解码性，优于 Johnson 不等式的结果。