[论文解读] On the Local Equivalence of 2D Color Codes and Surface Codes with Applications

Arun B. Aloshious, Arjun Nitin Bhagoji+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文通过线性代数框架，建立了二维（2D）颜色码与两个相关表面码副本之间的局部等价性。作者提出了显式的、无需辅助量子比特的量子线路，将颜色码转换为表面码，其门复杂度为 O(n)，从而能够利用表面码解码器对颜色码进行解码，尤其适用于比特翻转和量子消融通道。

ABSTRACT

In recent years, there have been many studies on local stabilizer codes. Under the assumption of translation and scale invariance Yoshida classified such codes. His result implies that translation invariant 2D color codes are equivalent to copies of toric codes. Independently, Bombin, Duclos-Cianci, and Poulin showed that a local translation invariant 2D topological stabilizer code is locally equivalent to a finite number of copies of Kitaev's toric code. In this paper we focus on 2D topological color codes and relax the assumption of translation invariance. Using a linear algebraic framework we show that any 2D color code (without boundaries) is locally equivalent to two copies of a related surface code. This surface code is induced by color code. We study the application of this equivalence to the decoding of 2D color codes over the bit flip channel as well as the quantum erasure channel. We report the performance of the color code on the square octagonal lattice over the quantum erasure channel. Further, we provide explicit circuits that perform the transformation between 2D color codes and surface codes. Our circuits do not require any additional ancilla qubits.

研究动机与目标

• 在不依赖平移不变性的情况下，建立二维颜色码与表面码之间的局部等价性。
• 通过利用现有表面码解码算法，实现对二维颜色码的解码。
• 开发显式、无需辅助量子比特的量子线路，用于在颜色码与表面码之间进行转换。
• 利用所提出的等价性，分析颜色码在量子消融通道下的性能。
• 将颜色码的错误模型映射到表面码，以指导解码器设计。

提出的方法

• 使用线性代数框架，定义二维颜色码与一个相关表面码的两个副本之间的双射、局部酉变换。
• 使用 CNOT、SWAP 和 Hadamard 门构建显式量子线路，以 O(n) 的门复杂度实现码转换。
• 定义一组酉操作序列：U、V、SWAP 和 H 门，用于在码之间映射逻辑算符和稳定算符。
• 将变换应用于单量子比特错误和消融情况，展示其在颜色码与表面码表示之间的映射方式。
• 利用该映射，将表面码解码器适配用于颜色码解码，尤其适用于硬判决和消融通道。
• 分析错误模型的转换，以确保解码器的兼容性与性能保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使在缺乏平移不变性的情况下，二维颜色码是否仍可与表面码实现局部等价？
• RQ2 如何利用该局部等价性，通过表面码解码器对颜色码进行解码？
• RQ3 在颜色码与表面码之间进行转换的门复杂度是多少？是否可进一步优化？
• RQ4 颜色码中的单量子比特错误和消融如何映射为表面码中的错误？
• RQ5 当通过表面码等价性进行解码时，二维颜色码在量子消融通道下的性能如何？

主要发现

• 任何二维颜色码均与一个相关表面码的两个副本局部等价，且无需依赖平移不变性。
• 该变换通过无需辅助量子比特的量子线路实现，对于 n 个量子比特的码，其门复杂度为 O(n) 的 CNOT、SWAP 和 Hadamard 门。
• 对于正方形-八边形晶格颜色码，当 ℓ_f = 4 且 m_f = 2 时，电路使用 n 个 CNOT 门、n/4 个 SWAP 门和 n/2 个 Hadamard 门。
• 映射保留了逻辑算符和稳定算符，从而可直接使用表面码解码器进行颜色码解码。
• 仿真结果表明，该等价性在比特翻转和量子消融通道上均能实现有效解码，尤其在软判决或相关错误模型下表现更优。
• 颜色码中的单量子比特 X/Z 错误和消融可系统性地映射为表面码中的对应错误，从而实现错误模型的转移。