[论文解读] On the local $M$-derivative

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文引入了一种新的分数阶导数，记为 $`\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}`$，通过引入一个单参数的Mittag-Leffler函数，对Katugampola的替代分数阶导数进行了推广。该导数保持了整数阶微积分的关键性质——如线性性、链式法则以及常数的导数为零——并扩展了经典定理（如罗尔定理和中值定理）；当 $`\alpha = 1`$ 且Mittag-Leffler参数为单位值时，其退化为普通的一阶导数。

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative that generalizes the so-called alternative fractional derivative recently proposed by Katugampola. We denote this new differential operator by $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order, is such that $0 0$ and $M$ is used to denote that the function to be derived involves a Mittag-Leffler function with one parameter. This new derivative satisfies some properties of integer-order calculus, e.g. linearity, product rule, quotient rule, function composition and the chain rule. Besides as in the case of the Caputo derivative, the derivative of a constant is zero. Because Mittag-Leffler function is a natural generalization of the exponential function, we can extend some of the classical results of integer-order calculus, namely: Rolle's theorem, the mean value theorem and its extension. Further, when the order of the derivative is $\alpha=1$ and the parameter of the Mittag-Leffler function is also unitary, our definition is equivalent to the definition of the ordinary derivative of order one. Finally, we present the corresponding fractional integral from which, as a natural consequence, new results emerge which can be interpreted as applications. Specifically, we generalize the inversion property of the fundamental theorem of calculus and prove a theorem associated with the classical integration by parts.

研究动机与目标

• 开发一种新的分数阶导数，通过引入单参数Mittag-Leffler函数，推广Katugampola的替代分数阶导数。
• 在分数阶微积分框架内，保持整数阶微积分的基本性质，如线性性、乘积法则和链式法则。
• 利用新导数将经典定理（如罗尔定理和中值定理）推广至分数阶设置。
• 通过在 $`\alpha = 1`$ 且Mittag-Leffler参数为单位值时恢复普通导数，确保与经典微积分的一致性。
• 建立相应的分数阶积分，并推导新结果，包括基本定理的逆运算性质和分部积分定理。

提出的方法

• 通过引入一个单参数的Mittag-Leffler函数来定义新导数 $`\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}`$，其中 $M$ 表示该函数的参与。
• 参数 $`\alpha`$（满足 $0 < \alpha \leq 1$）控制微分阶数，而 $`\beta > 0`$ 为缩放参数。
• 该导数被构造为满足核心微积分法则：线性性、乘积法则、商法则、函数复合及链式法则。
• 该定义确保常数的导数为零，与Caputo导数的行为一致。
• 分数阶积分为其逆运算，从而实现微积分基本定理和分部积分的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一种分数阶导数，使其在引入单参数Mittag-Leffler函数的同时，推广Katugampola的替代导数？
• RQ2 新导数是否保持整数阶微积分的基本性质，如链式法则和常数的导数为零？
• RQ3 经典定理（如罗尔定理和中值定理）能否推广至该新分数阶导数框架？
• RQ4 当 $`\alpha = 1`$ 且Mittag-Leffler参数为单位值时，导数的行为如何？是否能恢复普通导数？
• RQ5 相应的分数阶积分会引出哪些新结果，特别是关于基本定理的逆运算和分部积分的性质？

主要发现

• 新导数 $`\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}`$ 满足线性性、乘积法则、商法则、函数复合及链式法则，确保与经典微积分的一致性。
• 常数的导数为零，与Caputo导数一致，保持了微分的基本性质。
• 当 $`\alpha = 1`$ 且Mittag-Leffler参数为单位值时，导数精确退化为普通的一阶导数。
• 利用该导数，经典定理（如罗尔定理和中值定理）被推广至分数阶设置。
• 相应的分数阶积分使得微积分基本定理的广义逆运算成为可能，并导出了一个类似于分部积分的全新定理。