[论文解读] On the Maximum of Dependent Gaussian Random Variables: A Sharp Bound for the Lower Tail

Miles E. Lopes|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文为具有成对相关系数上界 $\rho_0 < 1$ 的有限个中心化、标准化高斯随机变量最大值的下尾概率提供了非渐近上界。该界在常数因子意义下是紧的，且显式依赖于 $\rho_0$、$\epsilon_0$ 和 $n$，从而在一般依赖结构下对最大值的有限样本下尾行为提供了精确刻画。

ABSTRACT

Although there is an extensive literature on the maxima of Gaussian processes, there are relatively few non-asymptotic bounds on their lower-tail probabilities. In the context of a finite index set, this paper offers such a bound, while also allowing for many types of dependence. Specifically, let $(X_1,\dots,X_n)$ be a centered Gaussian vector, with standardized entries, whose correlation matrix $R$ satisfies $\max_{i eq j} R_{ij}\leq ho_0$ for some constant $ ho_0\in (0,1)$. Then, for any $\epsilon_0\in (0,\sqrt{1- ho_0})$, we establish an upper bound on the probability $\mathbb{P}(\max_{1\leq i\leq n} X_i\leq \epsilon_0\sqrt{2\log(n)})$ that is a function of $ ho_0, \, \epsilon_0,$ and $n$. Furthermore, we show the bound is sharp, in the sense that it is attained up to a constant, for each $ ho_0$ and $\epsilon_0$.

研究动机与目标

• 解决有限索引集高斯过程最大值下尾概率缺乏非渐近界的问题。
• 在一般依赖结构下，推导 $\mathbb{P}(\max_{1\leq i\leq n} X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ 的紧致上界。
• 建立对所有 $\rho_0 \in (0,1)$ 和 $\epsilon_0 \in (0, \sqrt{1 - \rho_0})$ 均在常数因子意义下紧致的界。
• 通过允许成对相关系数统一有界于 $\rho_0$ 的任意依赖模式，推广现有结果。

提出的方法

• 建模 $n$ 个中心化高斯随机变量的最大值，其标准化分量具有满足 $\max_{i \neq j} R_{ij} \leq \rho_0$ 的相关矩阵 $R$。
• 应用专为成对相关系数有界的高斯向量设计的集中与比较技术。
• 利用链式论证或高斯比较不等式来控制最大值的下尾。
• 推导出显式依赖于 $\rho_0$、$\epsilon_0$ 和 $n$ 的 $\mathbb{P}(\max_i X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ 上界。
• 通过构造一族在常数因子意义下达到该界的例子，证明界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于依赖高斯向量，$\mathbb{P}(\max_i X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ 的最佳可能非渐近上界是什么？
• RQ2 依赖结构（以 $\max_{i \neq j} R_{ij} \leq \rho_0$ 衡量）如何影响最大值的下尾？
• RQ3 能否推导出对所有 $n$ 一致成立且仅依赖于 $\rho_0$ 上界、而与具体相关结构无关的尖锐界？
• RQ4 所推导的界在常数因子意义下是否紧致，即对某些 $\rho_0$ 与 $\epsilon_0$ 配置是否可达到？

主要发现

• 推导出 $\mathbb{P}(\max_{1\leq i\leq n} X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ 的上界，其显式依赖于 $\rho_0$、$\epsilon_0$ 和 $n$。
• 该界是非渐近的，适用于有限 $n$，因此适用于统计推断与有限样本分析。
• 该界在常数因子意义下是紧致的，即对指定范围内每个固定的 $\rho_0$ 与 $\epsilon_0$，均存在达到该界（至多常数因子）的情形。
• 该结果仅在最弱假设 $\max_{i \neq j} R_{ij} \leq \rho_0 < 1$ 下成立，允许广泛类别的依赖结构。