[论文解读] On the monodromy of moduli spaces of sheaves on K3 surfaces II

Eyal Markman|ArXiv.org|May 1, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用 15

一句话总结

本文证明了K3曲面的点的希尔伯特概形的上同调的单值表示源自Mukai格中的反射所关联的几何对应。它证明了这些对应通过分层初等变换和双有理对合诱导出单值算子，将代数几何与导出范畴及Hodge理论联系起来。

ABSTRACT

Let S be a K3 surface. In part I of this paper, we constructed a representation of the group Aut D(S), of auto-equivalences of the derived category of S. We interpreted this infinite dimensional representation, as the natural action of Aut D(S) on the cohomology of all moduli spaces of stable sheaves (with primitive Mukai vectors) on S. The main result, of part I, is the precise relation of this action with the monodromy of the Hilbert schemes S^[n] of points on the surface. The proof of the above result was reduced, in part I, to the case of two monodromy operators of S^[n], associated with choices of line bundles on the surface S, of degree 2n-4 and 2n respectively. When n=1, the first sequence of monodromy operators specializes to the reflection by a -2 curve. The n=1 case of the second sequence is related to the Galois involution, of a double cover of the projective plane, branched along a sextic. We complete the proof by treating these two sequences of examples.

研究动机与目标

• 建立K3曲面点的希尔伯特概形的积分上同调上的单值表示的几何实现。
• 将Mukai格中等距变换（特别是关于$-2$和$+2$向量的反射）与模空间上的实际对应联系起来。
• 通过变形理论和分层初等变换，证明这些对应诱导出单值算子。
• 将这些等距变换的上同调作用与导出范畴$D(S)$的自同构联系起来，实现几何与范畴化之间的联系。
• 通过分析退化和具有对合的曲线上的局部系统，证明所诱导的上同调自同态为单值算子。

提出的方法

• 通过希尔伯特概形的Brill-Noether层的纤维积的闭包，构造对应$\sum_{t=0}^\mu \mathcal{Z}_t \subset S^{[n]} \times S^{[n]}$。
• 在曲线$C$上对对应进行变形，该曲线在奇点$\ell$处与二次型的负部分相切。
• 对最小层的法丛进行变形，以分析对应在奇异纤维附近的性质。
• 依赖于由$S$上的非常 ample 线丛$L$诱导的$+2$向量所引发的双有理对合，来定义相对对应。
• 利用基曲线$C$上的对合$\rho$，将分类映射$\kappa'$和$\kappa''$与周期映射联系起来，证明$p \circ \kappa' = \rho \circ p \circ \kappa''$。
• 通过分析$\overline{C} \setminus \{\bar{\ell}\}$上局部系统的单值性，确立诱导的上同调作用$\mathcal{Z}_*$为单值算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过代数对应几何实现$S^{[n]}$上同调的单值表示？
• RQ2 Mukai格中的反射（关于$-2$和$+2$向量）与$D(S)$的自同构之间存在何种关系？
• RQ3 在$S^{[n]}$上的Brill-Noether分层如何诱导出实现$\Gamma_v$中等距变换的对应？
• RQ4 能否通过变形和局部系统分析，证明此类等距变换的上同调作用为单值算子？
• RQ5 单值作用在多大程度上独立于曲线$C$的选择，并且在参数$t$上是否解析？

主要发现

• 对应$\sum_{t=0}^\mu \mathcal{Z}_t$诱导出上同调自同态$\gamma(\tau_n)$，其对应于Mukai格中的反射$\tau_n$。
• 对应$\sum_{t=0}^\mu \mathcal{Z}_t$的上同调类通过公式(7)用$S \times S^{[n]}$上全纯理想层的陈类表示。
• $H^*(S^{[n]}, \mathbb{Z})$上的作用$\mathcal{Z}_*$通过$\overline{C} \setminus \{\bar{\ell}\}$上局部系统的单值性被识别为单值算子。
• 该构造独立于曲线$C$的选择，并随$t$解析变化，从而确保单值性定义良好。
• 由$+2$反射诱导的对合$\rho$对应于$S^{[n]}$上的双有理对合，将长度$n$的子概形$D$映射为$2n$-点子概形$Z$中的补子概形$Z \setminus D$。
• 单值作用作为极限$\lim_{t \to \ell} g_{t*}$出现，其中$g_t$是$C \setminus \{\ell\}$上两点之间的同构，从而确认了单值性的几何起源。