[论文解读] On the multiplicities of the irreducible highest weight modules over Kac-Moody algebras

Sergey Mozgovoy|ArXiv.org|Sep 13, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了与 quiver 关联的 Kac-Moody 代数的可积最高权模的权重重数与相关扩展 Kac-Moody 代数的根重数之间的精确对应关系。通过 quiver 变体、Kac 多项式以及不可除根的 Kac 猜想，证明了模 $ L(\overline{\nu}) $ 中某一权重的重数等于 $ \mathfrak{g}(\Gamma_*) $ 中某一特定根的根重数，从而导出 quiver 变体的 Poincaré 多项式的一个显式公式，该公式与 Hausel 的结果一致。

ABSTRACT

We prove that the weight multiplicities of the integrable irreducible highest weight module over the Kac-Moody algebra associated to a quiver are equal to the root multiplicities of the Kac-Moody algebra associated to some enlarged quiver. To do this, we use the Kac conjecture for indivisible roots and a relation between the Poincare polynomials of quiver varieties and the Kac polynomials, counting the number of absolutely irreducible representations of the quiver over finite fields. As a corollary of this relation, we get an explicit formula for the Poincare polynomials of quiver varieties, which is equivalent to the formula of Hausel.

研究动机与目标

• 将 Kac-Moody 代数的可积最高权模的权重重数与更大 Kac-Moody 代数中的根重数联系起来。
• 建立 quiver 变体与计数有限域上绝对不可约表示的 Kac 多项式之间的联系。
• 利用 Kac 多项式和 Kac 猜想，推导出 quiver 变体的 Poincaré 多项式的显式公式。
• 证明模 $ L(\overline{\nu}) $ 中某一权重的重数等于 $ \mathfrak{g}(\Gamma_*) $ 中根空间的维数，其中 $ \Gamma_* $ 是一个扩展的 quiver。

提出的方法

• 通过在每个 $ i \in I $ 上添加一个新顶点 $ * $，并从 $ * $ 向每个顶点 $ i $ 添加 $ \nu_i $ 条箭头，定义一个扩展 quiver $ \Gamma_* $。
• 将 quiver 变体 $ \mathcal{M}(\alpha, \nu) $ 视为双 quiver $ \overline{\Gamma}_* $ 的表示的模空间，其维数为 $ 2d $，其中 $ d = 1 - T_*(\alpha, 1) $。
• 通过恒等式 $ \sum_i h^{2i}_c(\mathcal{M}) q^i = q^d a_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q) $，将紧支集上同调 $ h^{2i}_c(\mathcal{M}) $ 与 Kac 多项式 $ a_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q) $ 联系起来。
• 应用不可除根的 Kac 猜想，即 $ a_\alpha(\Gamma, 0) = \dim \mathfrak{g}(\Gamma)_\alpha $，从而将权重重数与根重数等同。
• 利用 $ \lambda $-环结构和 Adams 算子，将 Kac 多项式的生成函数 $ a(\Gamma, q) $ 与函数 $ r_\alpha(\Gamma, q) $ 联系起来，导出公式 $ a(\Gamma, q) = (q-1)\operatorname{Log}(r(\Gamma, q)) $。
• 推导定理 3：$ \sum_\alpha q^{-d(\alpha,\nu)} p(\mathcal{M}, q) x^\alpha = (q-1) \frac{r_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q)}{r(\Gamma, q)} $，该公式可直接计算 Poincaré 多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kac-Moody 代数的可积最高权模的权重重数与更大 Kac-Moody 代数中的根重数之间有何关系？
• RQ2 能否利用 Kac 多项式和表示论不变量显式计算 quiver 变体的 Poincaré 多项式？
• RQ3 quiver 变体的上同调与有限域上绝对不可约表示的数量之间存在何种精确关系？
• RQ4 不可除根的 Kac 猜想是否意味着最高权模的重数公式？
• RQ5 quiver 变体的 Poincaré 多项式的生成函数能否用 $ r $-函数和 Kac 多项式表示？

主要发现

• 权重重数 $ \dim L(\overline{\nu})_{\overline{\nu}-\alpha} $ 等于根重数 $ \dim \mathfrak{g}(\Gamma_*)_{(\alpha,1)} $，从而在模的权重与扩展代数中的根空间之间建立了直接对应关系。
• quiver 变体 $ \mathcal{M}(\alpha, \nu) $ 的 Poincaré 多项式为 $ p(\mathcal{M}, t^2) = \sum_i h^{2i}_c(\mathcal{M}) t^{2i} $，其生成函数满足 $ \sum_i h^{2i}_c(\mathcal{M}) q^i = q^d a_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q) $。
• Poincaré 多项式的公式与 Hausel 的结果一致：$ \sum_\alpha q^{-d(\alpha,\nu)} p(\mathcal{M}, q) x^\alpha = (q-1) \frac{r_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q)}{r(\Gamma, q)} $。
• 上同调 $ h^{2i}_c(\mathcal{M}) $ 在奇数度上为零，且 $ h^{2d}_c(\mathcal{M}) = q^{-d} p(\mathcal{M}, q) \big|_{q=0} $，从而将重数与多项式的常数项联系起来。
• 不可除根的 Kac 猜想意味着 $ a_{\alpha}(\Gamma, 0) = \dim \mathfrak{g}(\Gamma)_\alpha $，并被用于将权重重数与根重数等同。
• $ r_{\alpha}(\Gamma, q) $ 的生成函数明确给出为 $ \sum_{|\lambda|=\alpha} \frac{q^{-T(\lambda)}}{\prod_i \varphi_{\lambda^i}(q^{-1})} $，其中 $ \varphi_n(q) = (1-q)\cdots(1-q^n) $。