[论文解读] On the nature of the conformable derivative and its applications to physics

Douglas R. Anderson, Evan Camrud+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用 50

一句话总结

本文表明 Khalil 和 Katugampola 的可保微分在 differentiable 函数下通过简单变量变换 u = x^α/α 等价，并探讨由此产生的数学结构和物理解释，聚焦量子力学、自伴性、 Sturm–Liouville 问题以及积分变换。

ABSTRACT

The purpose of this work is to show that the Khalil and Katagampoula conformable derivatives are equivalent to the simple change of variables $x$ $ ightarrow $ $x^{α}/α,$ where $α$ is the order of the derivative operator, when applied to differential functions. Although this means no extquotedblleft new mathematics extquotedblright\ is obtained by working with these derivatives, it is a second purpose of this work to argue that there is still significant value in exploring the mathematics and physical applications of these derivatives. This work considers linear differential equations, self-adjointness, Sturm-Liouville systems, and integral transforms. A third purpose of this work is to contribute to the physical interpretation when these derivatives are applied to physics and engineering. Quantum mechanics serves as the primary backdrop for this development.

研究动机与目标

• 研究把可保微分作为将标准微分方程技巧应用于非整数阶微积分的有用工具的动机。
• 证明可保微分等价于变量变换，并且这并未带来新的数学，只提供有价值的物理解释和应用。
• 为可保微分方程发展微分、 自伴性和谱理论框架。
• 研究可保积分变换，尤其是傅里叶变换，并讨论量子力学中的物理单位和空间解释。

提出的方法

• 将可保导数 D^α 定义为 x^{1-α} d/dx，并通过链式法则将其与变量变换 u = x^α/α 相关联。
• 使用 u 变量将普通二阶微分方程转换为可保形式，得到将常微分方程映射到可保常微分方程的
• Derive the self-adjoint conformable operator Â_{2α} = d/dx [x^{1-α} d/dx] and study its Sturm–Liouville eigenproblem with boundary conditions y(0)=y(1)=0.
• Construct and analyze conformable analogues of Bessel and confluent hypergeometric equations and present explicit conformable forms and solutions.
• Introduce conformable Sturm–Liouville theory and discuss spectra, eigenfunctions, and scaling properties of the generalized J_n^{(α)} functions.
• Develop conformable transforms, especially the Fourier transform, and outline the associated inverse transform and relation to conformable Laplace transform.

实验结果

研究问题

• RQ1 D^α 是否等同于在 differentiable 函数下通过简单的 x→u 变换得到的普通微分结构？
• RQ2 可保框架如何改变自伴性、 Sturm–Liouville 问题和谱理论？
• RQ3 经典特殊函数（如 Bessel、Airy）在可保框架中的对应物及它们的性质（零点、尺度）在 α 变化时如何表现？
• RQ4 如何形式化并物理上解释可保积分变换（傅里叶、拉普拉斯），特别是在量子力学中的应用？

主要发现

• 可保导数在 differentiable 函数下等价于简单变量变换 u = x^α/α。
• 自伴的可保算子 Â_{2α} = d/dx [x^{1-α} d/dx] 提供自然的可保 Sturm–Liouville 系统，具有显式的特征函数和特征值。
• 可保 Bessel 方程导出一个以修改过的自变量的标准 Bessel 函数表示的可保 Bessel 函数，其 SOLDE 对应于 x^{2}-型独立变量变换。
• 一族正交的可保特征函数 J_n^{(α)}(x) 一般化为正弦函数，在 0≤x≤1 上形成完备基底，零点和尺度依赖于 α。
• 可保傅里叶-贝塞尔展开及 Kummer/0F1 关系将新基与经典特殊函数联系起来。
• 可保 Sturm–Liouville 运算符与边值问题给出可解的特征值问题及其显式形式，说明参数 α 如何调制谱和特征函数。
• 已建立一个可保傅里叶变换框架，能够实现对称的前向与逆变换，并与量子力学解释相兼容。