[论文解读] On the neighbourhoods of trees

Peter Humphries, Taoyang Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Alzheimer's disease research and treatments参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文为系统发育树的tbr（树二等分与重连）邻域大小提供了闭式表达式，解决了长期存在的问题：通过单次tbr操作可达到多少种不同的树。作者基于树拓扑结构，特别是子树与簇的分布，推导出该公式，并证明邻域大小关键取决于树的形状，其中长形树（caterpillar trees）使邻域最大，完全二叉树则在渐近意义下使邻域最小。

ABSTRACT

Tree rearrangement operations typically induce a metric on the space of phylogenetic trees. One important property of these metrics is the size of the neighbourhood, that is, the number of trees exactly one operation from a given tree. We present an expression for the size of the TBR (tree bisection and reconnection) neighbourhood, thus answering a question first posed in [Annals of Combinatorics, 5, 2001 1-15].

研究动机与目标

• 解决未解决的问题：确定任意无根二叉系统发育树的tbr邻域大小的确切值。
• 阐明树形——特别是簇和子树大小分布——如何影响通过单次tbr操作可达的树的数量。
• 在空间 $\mathscr{T}_n$ 中，为所有二叉树拓扑结构的tbr邻域大小建立紧致的渐近上界与下界。
• 基于簇分解与部分分裂的统一框架，重新证明已知的nni与spr邻域结果。
• 提供一个依赖于叶数的二进制展开与树的层次簇结构的tbr邻域大小的一般表达式。

提出的方法

• 将tbr操作定义为边删除后通过细分重新连接，以保持二叉结构，确保结果树为不同且有效。
• 利用部分分裂与簇的概念，将树分解为特定大小的子树，特别关注大小为 $2^j$ 的子树。
• 引入函数 $\tau(m)$ 以检测大小为 $m$ 的子树是否包含大小为 $2^j$ 的簇，该特性影响有效tbr操作的计数。
• 基于 $n$（叶数）的二进制表示，采用递归分解方法，通过子树大小求和计算tbr操作总数。
• 利用 $n$ 的二进制展开中的系数 $\alpha_i$ 与树的簇分解结构，推导出 $\Gamma(\mathcal{T})$（即tbr操作总数）的一般公式。
• 应用定理3.6，通过涉及 $n^2$ 与线性项的变换，将 $\Gamma(\mathcal{T})$ 与最终的tbr邻域大小 $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})|$ 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的无根二叉系统发育树，tbr邻域的确切大小是多少？其如何随树拓扑结构变化？
• RQ2 树的结构性质——如cherries的存在、簇的分布与子树大小——如何影响可能的tbr操作数量？
• RQ3 在 $\mathscr{T}_n$ 中，哪些树形使tbr邻域大小达到最大或最小？
• RQ4 tbr邻域大小能否基于 $n$ 的二进制表示与树的层次簇结构，表示为闭式公式？
• RQ5 在所有具有 $n$ 个叶的二叉树中，tbr邻域大小的紧致渐近上界与下界是什么？

主要发现

• 本文为 $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})|$ 提供了依赖于树拓扑结构的闭式表达式，特别关注 $n$ 的二进制分解与大小为 $2^j$ 的子树的存在。
• 对于 $n = 3 \cdot 2^{k-1}$ 的完美树，tbr邻域大小为 $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})| = n^2(4k - \frac{32}{3}) + 22n - 6$。
• 对于 $n = 2^k$ 的完美树，大小为 $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})| = n^2(4k - 13) + 22n - 6$。
• 对于完全二叉树，tbr邻域大小满足 $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})| = 4n^2\lfloor \log_2 n \rfloor + O(n^2)$，确立了渐近紧致的下界。
• 最大tbr邻域大小由长形树实现，与先前已知的上界 $\frac{2}{3}n^3 - 4n^2 + \frac{16}{3}n + 2$ 一致。
• 最小tbr邻域大小出现在完全二叉树中，其渐近增长为 $\Theta(n^2 \log n)$，证实了下界的紧致性。