[论文解读] On Two Measures of Distance between Fully-Labelled Trees

Giulia Bernardini, Paola Bonizzoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2020

Data Management and Algorithms参考文献 41被引用 5

一句话总结

该论文解决了完全标记有根树分析中的两个开放问题：它证明了计算两棵同构树之间的排列距离，其复杂度与在稀疏二分图中寻找最大匹配的复杂度相当（相差多对数因子），从而实现了 $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 时间复杂度的算法；此外，还提出了一种线性时间的常数因子近似算法，用于计算任意树之间的重排距离，且无需结构假设。

ABSTRACT

The last decade brought a significant increase in the amount of data and a variety of new inference methods for reconstructing the detailed evolutionary history of various cancers. This brings the need of designing efficient procedures for comparing rooted trees representing the evolution of mutations in tumor phylogenies. Bernardini et al. [CPM 2019] recently introduced a notion of the rearrangement distance for fully-labelled trees motivated by this necessity. This notion originates from two operations: one that permutes the labels of the nodes, the other that affects the topology of the tree. Each operation alone defines a distance that can be computed in polynomial time, while the actual rearrangement distance, that combines the two, was proven to be NP-hard. We answer two open question left unanswered by the previous work. First, what is the complexity of computing the permutation distance? Second, is there a constant-factor approximation algorithm for estimating the rearrangement distance between two arbitrary trees? We answer the first one by showing, via a two-way reduction, that calculating the permutation distance between two trees on $n$ nodes is equivalent, up to polylogarithmic factors, to finding the largest cardinality matching in a sparse bipartite graph. In particular, by plugging in the algorithm of Liu and Sidford [ArXiv 2020], we obtain an $O(n^{4/3+o(1)})$ time algorithm for computing the permutation distance between two trees on $n$ nodes. Then we answer the second question positively, and design a linear-time constant-factor approximation algorithm that does not need any assumption on the trees.

研究动机与目标

• 解决同构完全标记有根树之间排列距离的计算复杂度问题。
• 为任意完全标记有根树之间的重排距离设计一个常数因子近似算法。
• 解决 Bernardini 等人（CPM 2019）在肿瘤系统发育的运算距离方面留下的开放问题。
• 建立树排列距离与最大二分匹配之间的联系，以推导出更优的时间复杂度上界。
• 设计一种实用且高效的算法，用于比较肿瘤系统发育树，且无需假设为二叉树。

提出的方法

• 构建排列距离与稀疏二分图中最大基数匹配之间的双向归约，证明两者在多对数因子范围内等价。
• 利用目前已知 asymptotically 最快的最大匹配算法（Liu 和 Sidford，2020），实现排列距离的 $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 时间复杂度上界。
• 设计一个三阶段算法来近似重排距离：(1) 通过父节点映射对齐节点，(2) 通过剪切非众数边来解决父节点映射的歧义，(3) 通过基于匹配的排列解决冲突的根映射。
• 使用多重集众数检测和边剪切启发式方法，在保持树结构一致性的同时最小化剪切次数。
• 构造一个排列 $\pi$，将 $F_1^3$ 中的根和父节点关系映射到 $F_2$ 中，确保 $|\pi| \leq 4\tilde{d}(F_1^3, F_2)$，通过度约束图匹配实现。
• 证明剪切总数至多为所构造匹配大小的两倍，从而保证近似比有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算两棵同构完全标记有根树之间的排列距离？
• RQ2 能否为任意完全标记有根树之间的重排距离设计一个常数因子近似算法，且无需结构假设？
• RQ3 是否存在排列距离与最大二分匹配之间的联系，从而可实现更优的时间复杂度上界？
• RQ4 能否在近似因子为常数的前提下，以线性时间近似重排距离？
• RQ5 在近似过程中，如何高效解决树比较中的模糊父节点映射问题？

主要发现

• 通过将问题归约为最大二分匹配，两棵同构完全标记有根树之间的排列距离可在 $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 时间内计算。
• 计算排列距离的复杂度与在稀疏二分图中求解最大匹配的复杂度相当（相差多对数因子）。
• 设计了一种适用于任意完全标记有根树（无需二叉树或其他结构约束）的线性时间常数因子近似算法，用于重排距离。
• 该近似算法确保操作次数在最优重排距离的常数倍之内，其上界为 $\textsc{ALG}(4) \leq 4\tilde{d}(F_1^3, F_2)$。
• 通过一系列剪切与置换步骤，保证了结构一致性并最小化了所需操作数，从而证明了算法的正确性。
• 最终的排列操作通过在必要映射上构建的度有界图构造，确保了相对于最优解大小有界的合法排列。