[论文解读] On the non-abelian Brumer-Stark conjecture and the equivariant Iwasawa main conjecture

Henri Johnston, Andreas Nickel|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文证明了在不假设 Iwasawa $\mu$-不变量为零的条件下，非交换 Brumer–Stark 猜想（及有关猜想）的 $p$-主部分可由全实数域上的等变 Iwasawa 主猜想（EIMC）推出。关键贡献在于通过平展上同调与平坦上同调对射类群进行了新颖的上同调重诠释，从而在 EIMC 与非交换 Stark 型猜想之间建立了直接联系。

ABSTRACT

We show that for an odd prime p, the p-primary parts of refinements of the (imprimitive) non-abelian Brumer and Brumer-Stark conjectures are implied by the equivariant Iwasawa main conjecture (EIMC) for totally real fields. Crucially, this result does not depend on the vanishing of the relevant Iwasawa mu-invariant. In combination with the authors' previous work on the EIMC, this leads to unconditional proofs of the non-abelian Brumer and Brumer-Stark conjectures in many new cases.

研究动机与目标

• 建立全实数域上等变 Iwasawa 主猜想（EIMC）对非交换 Brumer–Stark 猜想的 $p$-主部分的蕴含关系。
• 在先前将 EIMC 与非交换 Stark 猜想关联的研究中，去除对 $\mu$-不变量为零的假设。
• 通过 EIMC 在新情形下获得非交换 Brumer 与 Brumer–Stark 猜想的无条件证明。
• 通过使用非交换 Fitting 不变量与混合 $p$-进群环，推广 Greither–Popescu 与 Nicely 的早期结果。

提出的方法

• 在分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张的背景下，通过平展上同调与平坦上同调重诠释射类群。
• 沿分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张使用上极限，将 EIMC 中的典范复与射类群联系起来。
• 应用非交换 Fitting 不变量理论，执行 Iwasawa 对偶下降，将 EIMC 与消去条件关联起来。
• 使用混合 $p$-进群环，在 $\mu$-不变量可能不为零的情形下表述 EIMC。
• 利用 Frobenius 群的结构与单性，验证主定理的条件。
• 利用关于等变 Tamagawa 数猜想（ETNC）与强 Stark 猜想的已知结果，处理无分支 $p$-扩张的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 等变 Iwasawa 主猜想是否在不假设 $\mu=0$ 的条件下，蕴含非交换 Brumer–Stark 猜想的 $p$-主部分？
• RQ2 是否可通过射类群的上同调重诠释，建立 EIMC 与非交换 Stark 型猜想之间的联系？
• RQ3 在何种群论条件下（例如单性、Frobenius 结构）可无条件地由 EIMC 推出非交换 Brumer–Stark 猜想？
• RQ4 当 $\mu$-不变量不为零时，是否仍可从 EIMC 推出强 Brumer–Stark 性质的 $p$-主部分？
• RQ5 在额外的群论约束下，是否可去除非交换 Brumer–Stark 猜想中 $S_p \subseteq S$ 的假设？

主要发现

• 若在 $s=0$ 处复 $L$-函数与 $p$-进 $L$-函数相等，则全实数域上 EIMC 蕴含对偶强 Brumer–Stark 性质的 $p$-主部分。
• 该结果对所有单群（包括所有可解群与超可解群）无条件成立。
• 对于伽罗瓦群为 $G = U \rtimes V$ 的 CM-扩张，其中 $U$ 为 $p$-群或满足 $p \nmid |U|$，且 $V$ 为交换群的情形，获得了非交换 Brumer 与 Brumer–Stark 猜想的无条件证明。
• 当 $L/\mathbb{Q}$ 为伽罗瓦 CM-扩张，且 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \simeq \langle j \rangle \times G$，其中 $G$ 为核为 $\ell$-群的 Frobenius 群时，$h^0(\mathrm{Spec}(L))$ 的 $p$-主部分 ETNC 成立。
• 当 $p \neq \ell$ 时，利用混合 $p$-进群环与限制定理，建立了无分支 $p$-扩张情形下 ETNC 的 $p$-减部分。
• 主定理允许在某些情形下去除 $S_p \subseteq S$ 的假设，例如当 $L/\mathbb{Q}$ 具有 Frobenius 伽罗瓦群且核为 $\ell$-群，且 $p$ 无分支时。