[论文解读] On the noncommutative spin geometry of the standard Podles sphere and index computations

Elmar Wagner|ArXiv.org|Jul 23, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 6

一句话总结

该论文通过引入扭曲的Hochschild同调来解决标准Podlés球面上非交换旋转向量几何中的维数下降问题，利用扭曲的Chern-Connes配对建立庞加莱对偶性，并通过扭曲的Chern特征与体积形式计算q-缠绕数和指标。关键结果是：与扭曲的循环2-上闭链的Chern-Connes配对可得出等变0-可和Dirac算子的q-指标，证实了指标理论与量子群结构的一致性。

ABSTRACT

The purpose of the paper is twofold: First, known results of the noncommutative spin geometry of the standard Podles sphere are extended by discussing Poincare duality and orientability. In the discussion of orientability, Hochschild homology is replaced by a twisted version which avoids the dimension drop. The twisted Hochschild cycle representing an orientation is related to the volume form of the distinguished covariant differential calculus. Integration over the volume form defines a twisted cyclic 2-cocycle which computes the q-winding numbers of quantum line bundles. Second, a "twisted" Chern character from equivariant K0-theory to even twisted cyclic homology is introduced which gives rise to a Chern-Connes pairing between equivariant K0-theory and twisted cyclic cohomology. The Chern-Connes pairing between the equivariant K0-group of the standard Podles sphere and the generators of twisted cyclic cohomology relative to the modular automorphism and its inverse are computed. This includes the pairings with the twisted cyclic 2-cocycle associated to the volume form, and the one corresponding to the "no-dimension drop" case. From explicit index computations, it follows that the pairings with these cocycles give the q-indices of the known equivariant 0-summable Dirac operator on the standard Podles sphere.

研究动机与目标

• 通过在量子SU(2)上引入Haar测度的模自同构来构造扭曲Hochschild同调，以解决经典维数从2下降到1的问题。
• 从协变微分演算的体积形式构造一个扭曲循环2-上闭链，以表示方向类。
• 从等变K₀-理论到偶数扭曲循环同调定义一个与模自同构相容的扭曲Chern特征。
• 利用等变K₀-理论与扭曲循环上同调之间的Chern-Connes配对来计算指标。
• 将配对应用于扭曲循环上同调的生成元，包括体积形式上闭链和“无维数下降”情形。
• 通过与扭曲循环2-上闭链的配对计算0-可和Dirac算子的q-指标，表明其等于量子整数表达式。

提出的方法

• 通过使用量子SU(2)上Haar测度的模自同构引入扭曲Hochschild同调，避免经典维数从2下降到1的问题。
• 从协变微分演算的体积形式构造一个扭曲循环2-上闭链，以表示方向类。
• 从等变K₀-理论到偶数扭曲循环同调定义一个与模自同构相容的扭曲Chern特征。
• 利用等变K₀-理论与扭曲循环上同调之间的Chern-Connes配对来计算指标。
• 将配对应用于扭曲循环上同调的生成元，包括体积形式上闭链和“无维数下降”情形。
• 通过与扭曲循环2-上闭链的配对计算0-可和Dirac算子的q-指标，表明其等于量子整数表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换几何中，如何通过引入扭曲Hochschild同调来解决标准Podlés球面上Hochschild同调的维数下降问题？
• RQ2 当使用扭曲循环上同调而非标准Hochschild同调时，标准Podlés球面上的庞加莱对偶性是否仍然成立？
• RQ3 能否定义一个从等变K₀-理论到扭曲循环同调的扭曲Chern特征，使其保持指标配对的相容性？
• RQ4 等变K₀-理论与扭曲循环上同调之间Chern-Connes配对的显式值在标准Podlés球面上是什么？
• RQ5 与体积形式上闭链及模自同构逆的上闭链的配对是否能给出Dirac算子的q-指标？

主要发现

• 扭曲Hochschild同调解决了维数下降问题，使得可通过体积形式定义一致的方向类。
• 标准Podlés球面上的庞加莱对偶性成立，配对⟨[(k,l)], [(m,n)]⟩_D = km - ln 表明其非退化性。
• 与代表体积形式的扭曲循环2-上闭链的Chern-Connes配对可计算量子线丛的q-缠绕数。
• 与相对于模自同构的扭曲循环2-上闭链的配对可得出0-可和Dirac算子的q-指标。
• 标准Podlés球面上Dirac算子的q-指标由[N]_q给出，与量子整数表达式一致。
• 与模自同构逆的配对给出了“无维数下降”情形，证实了在扭曲上同调中指标理论的一致性。