[论文解读] On the operator norm of non-commutative polynomials in deterministic matrices and iid GUE matrices

Benoı̂t Collins, Alice Guionnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文为独立GUE随机矩阵与确定性矩阵的非交换多项式的算子范数建立了精确的浓度界限，表明该多项式平滑函数的归一化迹与其自由概率极限之间的期望差值被限制在 $ M^2 \|f\|_{\mathcal{C}^6} N^{-2} $。作为关键结果，当确定性矩阵大小 $ M_N = o(N^{1/3}) $ 时，证明了此类多项式算子范数几乎必然收敛到其自由极限，改进了先前的 $ o(N^{1/4}) $ 界限。

ABSTRACT

Let $X^N = (X_1^N,\dots, X^N_d)$ be a d-tuple of $N imes N$ independent GUE random matrices and $Z^{NM}$ be any family of deterministic matrices in $\mathbb{M}_N(\mathbb{C})\otimes \mathbb{M}_M(\mathbb{C})$. Let $P$ be a self-adjoint non-commutative polynomial. A seminal work of Voiculescu shows that the empirical measure of the eigenvalues of $P(X^N)$ converges towards a deterministic measure defined thanks to free probability theory. Let now $f$ be a smooth function, the main technical result of this paper is a precise bound of the difference between the expectation of $$\frac{1}{MN} ext{Tr}\left( f(P(X^N\otimes I_M,Z^{NM})) ight)$$ and its limit when $N$ goes to infinity. If $f$ is six times differentiable, we show that it is bounded by $M^2\left\Vert f ight\Vert_{\mathcal{C}^6}N^{-2}$. As a corollary we obtain a new proof of a result of Haagerup and Thorbjørnsen, later developed by Male, which gives sufficient conditions for the operator norm of a polynomial evaluated in $(X^N,Z^{NM},{Z^{NM}}^*)$ to converge almost surely towards its free limit. Restricting ourselves to polynomials in independent GUE matrices, we give concentration estimates on the largest eingenvalue of these polynomials around their free limit. A direct consequence of these inequalities is that there exists some $β>0$ such that for any $\varepsilon_1<3+β)^{-1}$ and $\varepsilon_2<1/4$, almost surely for $N$ large enough, $$-\frac{1}{N^{\varepsilon_1}}\ \leq \| P(X^N)\| - \left\Vert P(x) ight\Vert \leq\ \frac{1}{N^{\varepsilon_2}}.$$ Finally if $X^N$ and $Y^{M_N}$ are independent and $M_N = o(N^{1/3})$, then almost surely, the norm of any polynomial in $(X^N\otimes I_{M_N},I_N\otimes Y^{M_N})$ converges almost surely towards its free limit. This result is an improvement of a Theorem of Pisier, who was himself using estimates from Haagerup and Thorbjørnsen, where $M_N$ had size $o(N^{1/4})$.

研究动机与目标

• 为独立GUE矩阵与确定性矩阵的非交换多项式算子范数建立精确的浓度不等式。
• 在确定性矩阵大小的一般条件下，量化算子范数向其自由概率极限的收敛速率。
• 为Haagerup与Thorbjørnsen关于GUE矩阵多项式算子范数的几乎必然收敛结果提供新的证明。
• 通过将确定性矩阵大小的增长条件从 $ o(N^{1/4}) $ 改进为 $ o(N^{1/3}) $，扩展Pisier关于算子范数收敛的结果。

提出的方法

• 推导出对随机与确定性矩阵多项式应用平滑函数后的归一化迹与其自由概率极限之间差异的高概率浓度界限。
• 利用谱间隙论证和对数索博列夫不等式来控制迹泛函的波动。
• 应用二阶Poincaré型不等式以界定平滑函数迹的方差。
• 采用扰动论证，通过范数差值的Lipschitz型界，将随机矩阵中多项式的范数与自由极限联系起来。
• 引入截断与指数矩方法，以控制范数偏差的尾部概率。
• 将浓度界限与耦合论证相结合，推导出算子范数的几乎必然收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 独立GUE矩阵与确定性矩阵的非交换多项式算子范数向其自由概率极限的收敛速率为何？
• RQ2 在矩阵大小 $ M $ 上，此类多项式平滑函数的归一化迹浓度能否实现一致有界？
• RQ3 确定性矩阵大小 $ M_N $ 的增长速率如何影响算子范数向其自由极限的几乎必然收敛？
• RQ4 在更强的矩假设下，Pisier与Haagerup-Thorbjørnsen的 $ o(N^{1/4}) $ 界限能否被改进？
• RQ5 最优指数 $ \varepsilon $ 是多少，使得 $ \|P(X^N)\| - \|P(x)\| \in O(N^{-\varepsilon}) $ 几乎必然成立？

主要发现

• 对平滑函数 $ f $ 应用于GUE与确定性矩阵多项式后的期望归一化迹与其自由概率极限之间的差值，被限制在 $ M^2 \|f\|_{\mathcal{C}^6} N^{-2} $。
• 对于任意 $ \varepsilon_1 < (3 + \beta)^{-1} $ 与 $ \varepsilon_2 < 1/4 $，当 $ N $ 足够大时，多项式 $ P(X^N) $ 的算子范数满足 $ \left| \|P(X^N)\| - \|P(x)\| \right| \leq N^{-\varepsilon_2} $ 几乎必然成立。
• 当 $ M_N = o(N^{1/3}) $ 时，任意多项式在 $ X^N \otimes I_{M_N} $ 与 $ I_N \otimes Y^{M_N} $ 上的算子范数几乎必然收敛到其自由极限，优于先前的 $ o(N^{1/4}) $ 界限。
• 本文为Haagerup与Thorbjørnsen关于算子范数几乎必然收敛到自由极限的结果提供了新的证明。
• 范数偏差的浓度不等式被证明具有 $ e^{-K\delta^2 N} $ 阶的指数尾部界，表明存在强烈的集中性。
• 分析表明，算子范数偏差受 $ N^{-1/(3+\beta)} $ 阶项控制，这是实现改进的 $ o(N^{1/3}) $ 条件的关键。