[论文解读] On the optimality of Periodic barrier strategies for a spectrally positive Lévy process

José Luis Pérez, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Probability and Risk Models参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文在泊松观测分红决策下，针对谱正向 Lévy 过程中的分红分配问题，建立了周期性屏障策略的最优性。通过使用 scale 函数，推导出在有无破产惩罚两种模型下的最优屏障与值函数，证明了值函数在有界变差情形下为 C²，在无界变差情形下为 C³，并通过光滑粘贴与鞅技术验证了最优性。

ABSTRACT

We study the optimal dividend problem in the dual model where dividend payments can only be made at the jump times of an independent Poisson process. In this context, Avanzi et al. [5] solved the case with i.i.d. hyperexponential jumps; they showed the optimality of a (periodic) barrier strategy where dividends are paid at dividend-decision times if and only if the surplus is above some level. In this paper, we generalize the results for a general spectrally positive Levy process with additional terminal payoff/penalty at ruin, and also solve the case with classical bail-outs so that the surplus is restricted to be nonnegative. The optimal strategies as well as the value functions are concisely written in terms of the scale function. Numerical results are also given.

研究动机与目标

• 将 Avanzi 等人（2016）关于超指数跳变的结果推广至具有破产时终值收益/惩罚的一般谱正向 Lévy 过程。
• 将分析扩展至经典救助情形，确保通过资本注入使盈余保持非负。
• 使用 scale 函数，为两种模型推导出最优屏障与值函数的闭式表达。
• 通过光滑粘贴条件的‘猜测与验证’方法，验证周期性屏障策略的最优性。
• 利用具有解析可处理 scale 函数的相型 Lévy 过程进行数值验证。

提出的方法

• 使用 scale 函数表达在周期性屏障策略下分红的期望净现值（NPV）。
• 应用谱正向 Lévy 过程的波动理论，并结合 Avram 等人（2016）关于泊松观测过程的结果。
• 应用‘猜测与验证’方法：首先通过光滑粘贴条件猜测最优屏障 $ b^* $，然后验证其最优性。
• 利用 scale 函数构造鞅，以完成验证步骤。
• 使用 Meyer-Itô 公式与 Itô 引理处理具有跳跃与扩散成分的半鞅盈余过程。
• 通过相型 Lévy 过程进行数值实验，以验证分析结果，并分析分红频率增加时的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当分红仅在泊松到达时间支付时，周期性屏障策略是否对一般谱正向 Lévy 过程是最优的？
• RQ2 在破产时包含终值收益或惩罚的情况下，最优屏障与值函数如何变化？
• RQ3 在通过经典救助防止破产的前提下，是否能使用 scale 函数刻画最优策略？
• RQ4 值函数的正则性特征（如 C² 或 C³）如何取决于 Lévy 过程的路径变差性质？
• RQ5 当 Lévy 过程的漂移趋于无穷时，最优屏障如何变化？何时‘全部拿走并离开’策略可能最优？

主要发现

• 最优屏障 $ b^* $ 的选取使得值函数在有界变差情形下为 C²，在无界变差情形下为 C³。
• 证明了在周期性屏障策略下的值函数是 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的解，且通过鞅技术验证了最优策略。
• 即使 Lévy 过程的漂移趋于无穷，‘全部拿走并离开’策略（即 $ b^* = 0 $）仍可能是最优的，这一现象在经典模型中未被观察到。
• 在救助模型中，最优屏障 $ b^lat $ 的推导方式类似，值函数形式与第一种模型类似，但屏障水平不同。
• 数值结果验证了分析结论，显示随着分红决策频率的增加，最优策略趋于收敛。
• 研究结果推广了先前关于超指数跳变的研究成果，并将 scale 函数的应用扩展至双重模型中周期性分红控制的适用范围。