[论文解读] On the Parameterization of Stabilizing Controllers using Closed-loop Responses.

Yang Zheng, Luca Furieri+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出两种新的凸参数化方法，用于严格真LTI系统的内部稳定控制器，基于闭环响应，建立在Youla、SLP和IOP等现有框架之上。通过识别表征内部稳定性的四个等价稳定闭环传递函数矩阵组——其中两组为新提出——建立了四种凸参数化方法，从而增强了通过凸优化进行控制器综合的闭环凸性理论基础。

ABSTRACT

In this paper, we study the problem of parameterizing all internally stabilizing controllers for strictly proper linear time-invariant (LTI) systems using closed-loop responses. It is known that the set of internally stabilizing controllers $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$ is non-convex, but it admits a convex representation using certain closed-loop maps. A classical result is the Youla parameterization, and two recent notions are the system-level parameterization (SLP) and input-output parameterization (IOP). This paper further examines all possible parameterizations of $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$ using certain closed-loop responses. Our main idea is to revisit the external transfer matrix characterization of internal stability, which uncovers that only four groups of stable closed-loop transfer matrices are equivalent to internal stability: one of them is used in SLP, another one is a classical result and is used in IOP, and the other two are new, leading to two new parameterizations for $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$. All these four parameterizations are convex in term of the respectively introduced parameters, allowing us to use convex optimization for controller synthesis. These results contribute to a more complete picture of the notion of \emph{closed-loop convexity} for parameterizing $\mathcal{C}_{ ext{stab}}$.

研究动机与目标

• 提供使用闭环响应对所有可能的内部稳定控制器参数化进行全面表征。
• 识别并形式化所有与LTI系统中内部稳定性等价的稳定闭环传递函数矩阵组。
• 通过引入两种超越Youla、SLP和IOP的新型参数化方法，扩展现有闭环凸性框架。
• 通过确保所有提出的参数化在其各自参数下均为凸性，实现基于凸优化的控制器综合。

提出的方法

• 重新审视内部稳定性的外部传递矩阵表征，以识别所有暗示内部稳定的稳定闭环传递函数矩阵集合。
• 识别出四组与内部稳定性等价的稳定闭环传递函数矩阵，其中两组为新引入。
• 基于闭环映射的四组中的每一组，推导所有内部稳定控制器集合的凸参数化。
• 证明每种参数化在其各自参数下均为凸性，从而支持使用凸优化技术进行控制器设计。
• 将新参数化与经典框架（如Youla、SLP和IOP）进行比较，表明其在稳定性表征上等价，但在参数化结构上存在差异。
• 通过传递函数矩阵关系的数学分析，证明每种参数化的等价性与凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在严格真LTI系统中，所有与内部稳定性等价的稳定闭环传递函数矩阵的可能集合是什么？
• RQ2 如何从先前未识别的闭环响应组中推导出稳定控制器的新凸参数化？
• RQ3 新提出的参数化与现有框架（如SLP和IOP）之间存在何种关系？
• RQ4 是否可以使所有此类参数化在其各自参数下均为凸性，以支持控制器综合中的凸优化？
• RQ5 内部稳定控制器的闭环凸参数化是否存在完整分类？

主要发现

• 本文识别出四组在严格真LTI系统中与内部稳定性等价的稳定闭环传递函数矩阵。
• 其中两组为新引入，由此导出内部稳定控制器集合的两种新型凸参数化。
• 所有四种参数化在其各自参数下均为凸性，支持使用凸优化进行控制器综合。
• 新参数化将闭环凸性的理论框架扩展至超越现有方法（如Youla、SLP和IOP）的范围。
• 结果提供了使用闭环响应对稳定控制器所有可能凸参数化的完整分类。
• 该框架通过表明多组闭环响应可作为有效凸参数化变量，统一并推广了先前的方法。