[论文解读] On the Parameterized Complexity of Approximating Dominating Set

C. S. Karthik, Bundit Laekhanukit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文利用通信复杂性技术，为 k-支配集问题建立了紧致的参数化近似下界。在标准复杂性假设（W[1] ≠ FPT、ETH、SETH 和 k-Sum 假设）下，证明了在特定时间界限内，不存在 F(k)-FPT-近似算法，从而确立了参数化环境下高效近似的强限制。

ABSTRACT

We study the parameterized complexity of approximating the $k$-Dominating Set (DomSet) problem where an integer $k$ and a graph $G$ on $n$ vertices are given as input, and the goal is to find a dominating set of size at most $F(k) \cdot k$ whenever the graph $G$ has a dominating set of size $k$. When such an algorithm runs in time $T(k) \cdot poly(n)$ (i.e., FPT-time) for some computable function $T$, it is said to be an $F(k)$-FPT-approximation algorithm for $k$-DomSet. We prove the following for every computable functions $T, F$ and every constant $\varepsilon > 0$: $\bullet$ Assuming $W[1] eq FPT$, there is no $F(k)$-FPT-approximation algorithm for $k$-DomSet. $\bullet$ Assuming the Exponential Time Hypothesis (ETH), there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{o(k)}$ time. $\bullet$ Assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), for every integer $k \geq 2$, there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{k - \varepsilon}$ time. $\bullet$ Assuming the $k$-Sum Hypothesis, for every integer $k \geq 3$, there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{\lceil k/2 ceil - \varepsilon}$ time. Our results are obtained by establishing a connection between communication complexity and hardness of approximation, generalizing the ideas from a recent breakthrough work of Abboud et al. [FOCS 2017]. Specifically, we show that to prove hardness of approximation of a certain parameterized variant of the label cover problem, it suffices to devise a specific protocol for a communication problem that depends on which hypothesis we rely on. Each of these communication problems turns out to be either a well studied problem or a variant of one; this allows us to easily apply known techniques to solve them.

研究动机与目标

• 理解 k-支配集问题在高效参数化近似方面的限制。
• 在 W[1] ≠ FPT、ETH、SETH 和 k-Sum 假设等标准复杂性假设下，建立近似困难性。
• 开发一个将通信复杂性与支配集变体的参数化不可近似性相联系的一般框架。
• 证明在这些假设下，不存在满足指定时间界限的 F(k)-FPT-近似算法。
• 将近期在通信复杂性方面的进展扩展至参数化问题，以推导出紧致的不可近似性结果。

提出的方法

• 将 k-支配集近似困难性归约为相关问题中特定通信协议的存在性。
• 利用已知的通信复杂性技术，为每个底层假设（W[1]≠FPT、ETH、SETH、k-Sum 假设）构造定制化协议。
• 使用参数化版本的标签覆盖问题作为归约的核心困难锚点。
• 应用 Abboud 等人（FOCS 2017）的框架，将通信复杂性下界与参数化复杂性中的不可近似性相联系。
• 证明每个假设均意味着 F(k)-FPT-近似算法存在的不同时间界限。
• 将通信复杂性下界转化为 F(k)-FPT-近似算法的时间复杂性下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在标准参数化复杂性假设下，为 k-支配集问题证明强不可近似性结果？
• RQ2 在何种最紧致的时间界限以下，F(k)-FPT-近似算法无法存在于 k-DomSet 问题中？
• RQ3 如何利用通信复杂性推导出参数化复杂性中的不可近似性结果？
• RQ4 ETH、SETH 和 k-Sum 假设在多大程度上限制了 k-DomSet 问题中 F(k)-FPT-近似算法的效率？
• RQ5 是否存在一种通用方法，可将通信复杂性下界转化为参数化算法中的不可近似性结果？

主要发现

• 在假设 W[1] ≠ FPT 的前提下，k-支配集问题不存在 F(k)-FPT-近似算法。
• 在假设指数时间假设（ETH）的前提下，k-DomSet 的任何 F(k)-近似算法均无法在 T(k) · n^{o(k)} 时间内运行。
• 在强指数时间假设（SETH）下，对于每个 k ≥ 2，k-DomSet 的任何 F(k)-近似算法均无法在 T(k) · n^{k - ε} 时间内运行，其中 ε > 0。
• 在 k-Sum 假设下，对于每个 k ≥ 3，k-DomSet 的任何 F(k)-近似算法均无法在 T(k) · n^{⌈k/2⌉ - ε} 时间内运行，其中 ε > 0。
• 该框架成功地将通信复杂性下界转化为参数化问题的紧致不可近似性结果。
• 结果表明，在标准复杂性假设下，k-DomSet 的已知 FPT-近似算法在本质上是最优的。