[论文解读] On the partition sum of the NS five-brane

Robbert Dijkgraaf, Erik Verlinde+1 more|ArXiv.org|May 27, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 61

一句话总结

本文在双缩放解耦极限下，计算了IIA型NS五brane在Calabi-Yau三fold上缠绕时的量子修正欧几里得路径积分。通过T对偶将五brane映射到IIB型中的A型李代数奇点，经典通量求和被表达为theta函数，而量子修正则来自B模型拓扑弦振幅，从而得到满足全纯异常方程的完整路径积分，并将小弦理论与拓扑弦理论联系起来。

ABSTRACT

We study the Type IIA NS five-brane wrapped on a Calabi-Yau manifold X in a double-scaled decoupling limit. We calculate the euclidean partition function in the presence of a flat RR 3-form field. The classical contribution is given by a sum over fluxes of the self-dual tensor field which reduces to a theta-function. The quantum contributions are computed using a T-dual IIB background where the five-branes are replaced by an ALE singularity. Using the supergravity effective action we find that the loop corrections to the free energy are given by B-model topological string amplitudes. This seems to provide a direct link between the double-scaled little strings on the five-brane worldvolume and topological strings. Both the classical and quantum contributions to the partition function satisfy (conjugate) holomorphic anomaly equations, which explains an observation of Witten relating topological string theory to the quantization of three-form fields.

研究动机与目标

• 计算IIA型NS五brane在双缩放解耦极限下缠绕于Calabi-Yau流形时的欧几里得路径积分，背景为平坦的RR 3-形式场。
• 理解五brane路径积分的量子修正，特别是存在RR场背景时的情形。
• 通过路径积分建立五brane上双缩放小弦理论与拓扑弦理论之间的直接联系。
• 证明路径积分的经典与量子部分均满足共轭全纯异常方程。
• 为IIA型Calabi-Yau紧致化下五brane瞬子修正对超多重态模空间的计算提供一个框架。

提出的方法

• 通过T对偶将IIA型NS五brane在Calabi-Yau上的配置映射为IIB型背景中具有$A_{k-1}$型ALE奇点的系统，从而消除五brane。
• 将经典路径积分表示为自对偶张量场通量之和，表达为theta函数$Z_X^{cl} = \overline{\Theta_{\alpha,\beta}(x;z)}$。
• 通过超引力有效作用量识别量子修正，其中涉及$\mathcal{F}_g(z,\bar{z})$的F项对自由能有贡献。
• 将量子修正与B模型拓扑弦振幅$\mathcal{F}_g(z,\bar{z})$联系起来，后者编码了有效弦耦合$\lambda^{2g-2}$下的圈修正。
• 利用B模型的全纯异常方程，证明路径积分的经典与量子部分均满足共轭全纯异常方程。
• 通过坐标变换导出新坐标下的BCOV方程，将导数变换并用$x^i$、$\lambda$和复结构模参数$z^i$表示波函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 平坦RR 3-形式场的存在如何影响双缩放极限下五brane路径积分的量子修正？
• RQ2 NS五brane缠绕于Calabi-Yau流形时，其量子修正路径积分的精确形式是什么？
• RQ3 T对偶如何将IIA型五brane系统与IIB型拓扑弦背景联系起来？ALE奇点在此扮演什么角色？
• RQ4 为何路径积分的经典与量子部分均满足全纯异常方程？其物理意义是什么？
• RQ5 五brane路径积分能否表示为theta函数与拓扑弦振幅生成函数的乘积？这一形式是否将熟知的$\theta/\eta$形式推广至Calabi-Yau流形？

主要发现

• 经典路径积分为theta函数$Z_X^{cl} = \overline{\Theta_{\alpha,\beta}(x;z)}$，对Calabi-Yau流形上RR 3-形式场的通量求和。
• 量子修正由生成函数$Z_X^{qu} = \exp\left(\sum_{g>0} \mathcal{F}_g(z,\bar{z}) \lambda^{2g-2}\right)$编码，其中$\mathcal{F}_g$为B模型拓扑弦振幅。
• 完整路径积分为$Z_X = Z_X^{cl} \cdot Z_X^{qu}$，结合了经典通量求和与量子圈修正。
• 在$X = K3 \times T^2$的情形下，路径积分简化为$Z_{K3\times T^2} = \frac{\theta_{4,20}(\tau,\bar{\tau})}{\eta(\tau)^{24}}$，其中theta函数来自通量，eta函数来自$g=1$圈振幅。
• 路径积分的经典与量子部分均满足共轭全纯异常方程，解释了Witten对三形式场量子化的观察。
• 该结果通过路径积分结构，建立了五brane世界体积上双缩放小弦理论与拓扑弦理论之间的直接联系。