[论文解读] All Genus Topological String Amplitudes and 5-brane Webs as Feynman Diagrams

Amer Iqbal|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用 69

一句话总结

本文提出了一种费曼图类形式化方法，用于计算关于toric局部Calabi-Yau三fold的全亏格拓扑弦振幅，通过将5-膜网构型解释为费曼图，其中传播子和三线顶点源自大N WZW理论。该方法成功重现了关于解析化解的锥面和del Pezzo曲面的整数Gromov-Witten不变量，证实了5-膜网振幅等于闭弦生成函数的猜想。

ABSTRACT

A conjecture for computing all genus topological closed string amplitudes on toric local Calabi-Yau threefolds, by interpreting the associated 5-brane web as a Feynman diagram, is given. A propagator and a three point vertex is defined which allows us to write down the amplitude associated with 5-brane web. We verify the conjecture that this amplitude is equal to the closed string partition function by computing integer invariants for resolved conifold and certain curves of low degree in local del Pezzo surfaces, local Hirzebruch surfaces and their various blowups.

研究动机与目标

• 提出一种利用5-膜网图计算toric局部Calabi-Yau三fold上全亏格拓扑弦振幅的猜想。
• 从大N WZW理论中定义传播子和三线顶点，以将振幅建模为费曼图。
• 通过计算整数Gromov-Witten不变量，验证所得振幅与闭弦生成函数一致。
• 通过黎曼曲面和矩阵元结构，建立5-膜网构型与拓扑弦振幅之间的直接联系。

提出的方法

• 将5-膜网解释为费曼图，其中传播子由(1,0) 5-膜定义，三线顶点由(1,0)、(0,1)和(1,1) 5-膜构成。
• 利用大N WZW理论中的态和算符计算矩阵元，特别关联于 linking number 为+1的Hopf链结。
• 振幅通过在网图中所有格路路径的求和构建，权重为WZW矩阵元和Kähler参数。
• 通过网图的SL(2,Z)变换推导出重整化的Kähler参数，并用于表达自由能的瞬子部分。
• 通过将振幅按 $ (2\sin(g_s/2))^{2r-2} $ 的幂次展开，并与公式(1)中的生成函数匹配，提取整数不变量。
• 该方法应用于解析化解的锥面、局部del Pezzo曲面、Hirzebruch曲面及其blowups，结果与已知不变量进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过5-膜网的费曼图解释，计算toric局部Calabi-Yau三fold上的全亏格拓扑弦振幅？
• RQ2 在5-膜网图中，哪些传播子和三线顶点能正确再现闭弦生成函数？
• RQ3 所得振幅能否正确生成各种Calabi-Yau几何中低次曲线的整数Gromov-Witten不变量？
• RQ4 5-膜网结构与大N WZW理论矩阵元之间是否存在一致的映射关系？

主要发现

• 对于解析化解的锥面，5-膜网振幅给出 $ N^g_{E_1} = \nabla_{g,0} $，与已知的亏格零结果一致。
• 对于曲线 $ F - E_1 $，振幅给出 $ N^g_{F-E_1} = \nabla_{g,0} $，证实了高亏格不变量的缺失。
• 在两点blowup的 $ F_2 $ 曲面中，振幅正确地以 $ T_{B,F,E_1,E_2} $ 和 $ \lambda $ 表达了Kähler参数 $ r_b $。
• 在 $ F_2 $ 中，$ E_1 $ 和 $ F - E_1 $ 的计算不变量与预期的 $ N^g = 0 $（当 $ g > 0 $ 时）一致，验证了该方法。
• 振幅结构正确编码了整数不变量的生成函数，如公式(1)所示，其中 $ (2\sin(g_s/2))^{2r-2} $ 因子被准确表达。