[论文解读] On the Poset of Multichains

Henri Mühle|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文引入有限偏序集 $\mathcal{P}$ 的 $m$-多重链的偏序集，记为 $\mathcal{P}^{[m]}$，即在分量序下长度为 $m$ 的非减链的集合。本文证明了结构和拓扑性质——如 EL-壳化性和序复形的可缩性——在此构造下得以保持，并建立了有限分配格的 $m$-多重链的偏序集与 $\mathcal{J}(\mathcal{P}) \times \mathcal{C}_m$ 的序理想之间的典范同构，从而将该构造与 R. 斯坦利的 $\mathcal{P}$-分拆理论联系起来。

ABSTRACT

In this note we introduce the poset of $m$-multichains of a given poset $\mathcal{P}$. Its elements are the multichains of $\mathcal{P}$ consisting of $m$ elements, and its partial order is the componentwise partial order of $\mathcal{P}$. We show that this construction preserves a number of poset-theoretic and poset-topological properties of $\mathcal{P}$. Moreover, we describe the structure of the poset of $m$-multichains of a finite distributive lattice, and provide a link to R.~Stanley's theory of $\mathcal{P}$-partitions.

研究动机与目标

• 定义并研究有限偏序集 $\mathcal{P}$ 的 $m$-多重链的偏序集 $\mathcal{P}^{[m]}$，其作为 $\mathcal{P}^m$ 的分量序下的子偏序集。
• 研究 $\mathcal{P}$ 的哪些偏序理论与拓扑性质在 $\mathcal{P}^{[m]}$ 中得以保持，特别是 EL-壳化性与序复形的可缩性。
• 为有限分配格 $\mathcal{P}$ 的 $\mathcal{P}^{[m]}$ 提供结构表征，将其与乘积偏序集的序理想联系起来。
• 通过典范同构建立分配格中 $m$-多重链与 R. 斯坦利的 $\mathcal{P}$-分拆理论之间的联系。

提出的方法

• 将 $\mathcal{P}^{[m]}$ 定义为所有满足 $x_1 \leq \cdots \leq x_m$ 的 $m$-元组 $(x_1, \dots, x_m)$ 的集合，并赋予分量序。
• 证明 $\mathcal{P}^{[m]}$ 是 $\mathcal{P}^m$ 的诱导子偏序集，保持来自乘积的序关系。
• 证明若 $\mathcal{P}$ 是 EL-壳化的，则 $\mathcal{P}^{[m]}$ 也是 EL-壳化的，使用自然的边标记构造。
• 通过形变重收缩论证，证明当 $m > 1$ 时，$\mathcal{P}^{[m]}$ 的序复形是可缩的。
• 应用伯克霍夫表示定理，证明对有限分配格 $\mathcal{P}$，偏序集 $\mathcal{P}^{[m]}$ 同构于 $\mathcal{J}(\mathcal{P}) \times \mathcal{C}_m$ 的序理想，其中 $\mathcal{J}(\mathcal{P})$ 是 $\mathcal{P}$ 的所有并-不可约元素构成的偏序集。
• 建立 $\mathcal{P}$ 中 $m$-多重链与高度至多为 $m$ 的 $\mathcal{P}$-分拆之间的双射，通过同构 $\mathcal{A}(\mathcal{P};m) \cong \mathcal{I}(\mathcal{P} \times \mathcal{C}_m)$ 将该构造与斯坦利的 $\mathcal{P}$-分拆理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 该 $m$-多重链构造是否保持原偏序集 $\mathcal{P}$ 的 EL-壳化性？
• RQ2 当 $m > 1$ 时，$\mathcal{P}^{[m]}$ 的序复形是否可缩？
• RQ3 如何用序理想表征有限分配格的 $m$-多重链的偏序集？
• RQ4 分配格中 $m$-多重链与斯坦利的 $\mathcal{P}$-分拆之间存在何种关系？
• RQ5 该 $m$-多重链的偏序集能否自然地识别为已知的组合结构，例如乘积偏序集的序理想？

主要发现

• $m$-多重链的偏序集 $\mathcal{P}^{[m]}$ 继承了 $\mathcal{P}$ 的 EL-壳化性，即若 $\mathcal{P}$ 允许一致的边标记，则 $\mathcal{P}^{[m]}$ 也具有该性质。
• 当 $m > 1$ 时，$\mathcal{P}^{[m]}$ 的序复形是可缩的，意味着 $\mathcal{P}^{[m]}$ 具有与一点同伦等价的同伦型。
• 对有限分配格 $\mathcal{P}$，偏序集 $\mathcal{P}^{[m]}$ 同构于 $\mathcal{J}(\mathcal{P}) \times \mathcal{C}_m$ 的序理想，其中 $\mathcal{J}(\mathcal{P})$ 是 $\mathcal{P}$ 的并-不可约元素构成的偏序集。
• $m$-有界 $\mathcal{P}$-分拆的偏序集 $\mathcal{A}(\mathcal{P};m)$ 同构于 $\mathcal{I}(\mathcal{P} \times \mathcal{C}_m)$，且该同构可推广至分配格情形下的 $\mathcal{P}^{[m]} \cong \mathcal{I}(\mathcal{J}(\mathcal{P}) \times \mathcal{C}_m)$。
• 在分配格中，$m$-多重链的数量严格小于 $m$-有界 $\mathcal{P}$-分拆的数量，如示例所示：在特定格中分别为 12 与 46，以及 13 与 33 个此类对象。
• 该构造为分配格中 $m$-多重链与并-不可约元素偏序集和大小为 $m$ 的链的乘积的序理想之间提供了典范同构，统一了两种组合框架。