[论文解读] On the possible images of the mod ell representations associated to elliptic curves over Q

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 34

一句话总结

本文对定义在 ℚ 上的非 CM 椭圆曲线的模 ℓ Galois 表示的所有可能图像进行了分类，识别出所有例外素数 ℓ，使得该表示不是满射。利用亏格为 0 的模曲线及其有理点，作者提供了一个完整算法，可对每个这样的 ℓ 计算图像子群在共轭意义下的结果，关键结果针对 ℓ ≡ 2 mod 3 且 ℓ ≥ 17 的情形。

ABSTRACT

Consider a non-CM elliptic curve $E$ defined over $\mathbb{Q}$. For each prime $\ell$, there is a representation $ρ_{E,\ell}: G o GL_2(\mathbb{F}_\ell)$ that describes the Galois action on the $\ell$-torsion points of $E$, where $G$ is the absolute Galois group of $\mathbb{Q}$. A famous theorem of Serre says that $ρ_{E,\ell}$ is surjective for all large enough $\ell$. We will describe all known, and conjecturally all, pairs $(E,\ell)$ such that $ρ_{E,\ell}$ is not surjective. Together with another paper, this produces an algorithm that given an elliptic curve $E/\mathbb{Q}$, outputs the set of such exceptional primes $\ell$ and describes all the groups $ρ_{E,\ell}(G)$ up to conjugacy. Much of the paper is dedicated to computing various modular curves of genus $0$ with their morphisms to the $j$-line.

研究动机与目标

• 对定义在 ℚ 上的非 CM 椭圆曲线的模 ℓ Galois 表示的所有可能图像进行分类。
• 确定所有例外素数 ℓ，使得模 ℓ 表示不是满射。
• 为每个椭圆曲线 E/ℚ 提供一个完整算法，计算图像子群 ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ)) 在共轭意义下的结果。
• 描述亏格为 0 且具有有理点的模曲线 X_G 的结构，从而实现对可能图像子群的分类。
• 通过扭变和 Tate 曲线分析，同时处理 j-不变量不等于 0 或 1728 的一般情形，以及 j_E ∈ {0, 1728} 的特殊情况。

提出的方法

• 定义群 G = ±ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ))，使图像在二次扭变下保持不变。
• 利用行列式条件 det(G) = 𝔽_ℓ^×，将模曲线 X_G 在 ℚ 上与一个从 X_G → ℙ¹_ℚ 的态射 π_G 关联，该态射将 j-不变量映射到 j-直线。
• 刻画所有满足 det(G) = 𝔽_ℓ^× 且 −I ∈ G 的子群 G ≤ GL_2(𝔽_ℓ)，重点关注那些使得 X_G 亏格为 0 且具有 ℚ-有理点的情形。
• 将 j-不变量表示为水平 ℓ 的模函数 h 的有理函数 J(h)，从而将分类问题转化为有理函数问题。
• 将图像子群分析为 G 或其指数为 2 的子群 H（满足 −I ∉ H），利用伽罗瓦特征标区分不同情形。
• 对 ℓ-进赋值 v_ℓ(j_E) < 0 的情形应用 Tate 曲线理论，通过 PGL_2(𝔽_ℓ) 中的阶数约束排除某些图像子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 GL_2(𝔽_ℓ) 的真子群可以作为某个定义在 ℚ 上的非 CM 椭圆曲线 E 的模 ℓ Galois 表示 ρ_{E,ℓ} 的图像？
• RQ2 对于哪些素数 ℓ，ρ_{E,ℓ} 不是满射？其可能的图像子群（在共轭意义下）是什么？
• RQ3 如何为给定椭圆曲线 E/ℚ 算法性地确定例外素数 ℓ 的集合？
• RQ4 亏格为 0 且具有有理点的模曲线在分类可能图像子群中起什么作用？
• RQ5 为何当 ℓ ≡ 2 mod 3 且 ℓ ≥ 17 时，图像子群被限制在 N_{ns}(ℓ) 或 C_{ns}(ℓ) 的子群中？

主要发现

• 当 ℓ ≡ 2 mod 3 且 ℓ ≥ 17 时，ρ_{E,ℓ} 的图像不能包含于 N_{ns}(ℓ)，因为 ℓ−1 不整除 2(ℓ+1)，从而排除了这些群。
• 当 v_ℓ(j_E) ≥ 0 时，图像子群 ±ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ)) 同构于 G 或 N_{ns}(ℓ)，且图像等于其自身的负像，因此 −I 属于图像。
• 当 v_ℓ(j_E) < 0 时，Tate 曲线模型表明 PGL_2(𝔽_ℓ) 中的图像包含一个阶为 ℓ−1 的循环子群，而该子群无法嵌入到 N_{ns}(ℓ) 的像中，从而排除了某些可能性。
• 当 ℓ ≥ 17 时，可能的图像子群仅为 G = N_{ns}(ℓ) 或其包含 C_{ns}(ℓ) 的指数 3 子群，前提是 ℓ ≡ 2 mod 3。
• 图像子群的分类可归结为计算具有 ℚ-有理点的亏格为 0 的模曲线 X_G，这些曲线同构于 ℙ¹_ℚ，并由有理函数 J(t) 参数化。
• 该算法输出给定 E/ℚ 的例外素数 ℓ 的集合，以及每个 E 的图像子群 ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ)) 在共轭意义下的结果，仅依赖于 j-不变量和扭变不变性。