[论文解读] On the power of function values for the approximation problem in various settings

Erich Novak, Henryk Woźniakowski|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2010

Mathematical Approximation and Integration参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文引入幂函数 ℓ 以量化在希尔伯特空间和巴拿赫空间中，函数值相对于任意线性泛函在最坏情况、随机化和平均情况设置下逼近函数的相对效率。研究证明，在希尔伯特空间中 p=2 的随机化设置下，以及在巴拿赫空间中 p=2 的平均情况设置下，函数值可达到与一般线性信息相同的收敛速率（即 ℓ = 1），同时指出了在未探索情形下关于幂函数的八个开放问题。

ABSTRACT

This is an expository paper on approximating functions from general Hilbert or Banach spaces in the worst case, average case and randomized settings with error measured in the $L_p$ sense. We define the power function as the ratio between the best rate of convergence of algorithms that use function values over the best rate of convergence of algorithms that use arbitrary linear functionals for a worst possible Hilbert or Banach space for which the problem of approximating functions is well defined. Obviously, the power function takes values at most one. If these values are one or close to one than the power of function values is the same or almost the same as the power of arbitrary linear functionals. We summarize and supply a few new estimates on the power function. We also indicate eight open problems related to the power function since this function has not yet been studied for many cases. We believe that the open problems will be of interest to a general audience of mathematicians.

研究动机与目标

• 量化函数值相对于任意线性泛函在不同设置下函数逼近的相对能力。
• 定义并分析幂函数 ℓ，作为使用函数值的收敛速率与使用一般线性信息的收敛速率之比。
• 确定在哪些函数空间和设置下，函数值能达到与一般线性信息相同的收敛速率（即 ℓ = 1）。
• 识别并陈述关于幂函数在未探索设置下行为的开放问题，特别是针对 p ≠ 2 和最坏情况设置。

提出的方法

• 幂函数 ℓ^sett-x(r,p) 定义为所有希尔伯特空间或巴拿赫空间 F 中，标准信息速率 r^std-avg(F,L_p) 与全信息速率 r^all-avg(F,L_p) 之比的下确界，再乘以 r。
• 分析使用了最坏情况、随机化和平均情况设置下的第 n 个最小误差，误差以 L_p 范数衡量。
• 在平均情况设置下，论文依赖高斯测度和协方差算子的谱性质来计算最小误差。
• 在随机化设置下，论文利用希尔伯特空间中随机化复杂度与全信息复杂度的等价性。
• 在最坏情况设置下，论文通过比较采样数和宽度来界定幂函数。
• 论文应用插值论证和逼近论中的已知结果，推导出 ℓ 在各种设置下的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，幂函数 ℓ^ran-H(r,2) 等于 1，表示在希尔伯特空间的随机化设置下，函数值能达到与一般线性信息相同的收敛速率？
• RQ2 在最坏情况设置下，ℓ^wor-H(r,p) = 1 是否可能在希尔伯特空间中成立，意味着函数值与一般线性泛函具有同等能力？
• RQ3 在随机化设置下，当 p ∈ [1,2) 时，希尔伯特空间和巴拿赫空间的幂函数 ℓ^ran-H/B(r,p) 的行为如何？
• RQ4 在平均情况设置下，使用高斯测度时，ℓ^avg-H/B(r,p) = 1 是否对 p ≠ 2 成立，还是仅限于 p = 2？
• RQ5 对于所有 r ∈ (0,a*]，ℓ^ran-H/B(r,p) = 0 的上确界 a*(p) 是多少，表示函数值在随机化设置下无效的范围？

主要发现

• 在希尔伯特空间中 p=2 的随机化设置下，幂函数 ℓ^ran-H(r,2) = 1 对所有 r > 0 成立，意味着函数值能达到与一般线性信息相同的收敛速率。
• 在巴拿赫空间中 p=2 且均值为零的高斯测度的平均情况设置下，幂函数 ℓ^avg-H/B(r,2) = 1 对所有 r > 0 成立，表明函数值与一般线性信息具有同等能力。
• 幂函数 ℓ^wor-H(r,p) 上界为 1，而 ℓ^wor-H(r,p) = 1 是否可能在最坏情况设置下出现，仍是开放问题。
• 对于希尔伯特空间中 p ∈ [1,2) 的情形，以及巴拿赫空间中所有 p ∈ [1,∞] 的情形，随机化设置下的幂函数仍未被探索，被列为开放问题。
• 对于 p ≠ 2 的情形，幂函数 ℓ^avg-H/B(r,p) 尚不明确，且 ℓ^avg-H/B(r,p) = 1 是否在 p = 2 以外也成立，仍是开放问题。
• 本文指出了八个开放问题，包括对于所有 r ≤ a*，ℓ^ran-H/B(r,p) = 0 的上确界 a*(p)，表示函数值在随机化设置下无效的范围。