[论文解读] On the preservation of Gibbsianness under symbol amalgamation

Jean-René Chazottes, Edgardo Ugalde|ArXiv.org|Jul 3, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 12

一句话总结

该论文证明了在原始势函数为霍尔德连续的条件下，全移位上的吉布斯测度在符号合并下仍保持吉布斯性。它证明了在合并下，测度的前推是吉布斯性的，且其势函数的正则性略有降低；在二符号势的特殊情况下，所得的隐马尔可夫链是吉布斯性的，且对应于一个霍尔德势函数。

ABSTRACT

Starting from the full--shift on a finite alphabet $A$, mingling some symbols of $A$, we obtain a new full shift on a smaller alphabet $B$. This amalgamation defines a factor map from $(A^{\mathbb N},T_A)$ to $(B^{\mathbb N},T_B)$, where $T_A$ and $T_B$ are the respective shift maps. According to the thermodynamic formalism, to each regular function (`potential') $ψ:A^{\mathbb N} o{\mathbb R}$, we can associate a unique Gibbs measure $μ_ψ$. In this article, we prove that, for a large class of potentials, the pushforward measure $μ_ψ\circπ^{-1}$ is still Gibbsian for a potential $ϕ:B^{\mathbb N} o{\mathbb R}$ having a `bit less' regularity than $ψ$. In the special case where $ψ$ is a `2--symbol' potential, the Gibbs measure $μ_ψ$ is nothing but a Markov measure and the amalgamation $π$ defines a hidden Markov chain. In this particular case, our theorem can be recast by saying that a hidden Markov chain is a Gibbs measure (for a Hölder potential).

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，符号合并下吉布斯测度的前推仍为吉布斯性。
• 分析合并后在较小字母表上诱导势函数的正则性。
• 将先前关于马尔可夫逼近和混合子移位的结果推广至更广义的势函数类。
• 证明由二符号势函数导出的隐马尔可夫链是具有霍尔德势函数的吉布斯测度。
• 统一热力学形式和符号动力学的技术，以证明马尔可夫逼近的统一收敛性。

提出的方法

• 构造一个r步马尔可夫逼近序列(ψ_r)，以逼近全移位A^N上的通用霍尔德势函数ψ。
• 利用伯克霍夫对佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的改进，分析与ψ_r相关的转移算子的谱性质。
• 采用伸缩积积和周期逼近方法，比较测度μ_ψ_r与μ_ψ，确保在弱-*拓扑下的收敛性。
• 通过ψ的方差和涉及θ ∈ (0,1)的指数衰减项，建立柱集概率比的统一有界性。
• 通过极限过程导出B^N上的诱导势函数φ，证明其满足具有可控误差的吉布斯不等式。
• 应用遍历分解定理，得出μ_ψ_r的弱-*极限等于原始吉布斯测度μ_ψ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，符号合并下吉布斯测度的前推仍为吉布斯性？
• RQ2 在较小字母表B上诱导势函数φ的正则性与原始字母表A上势函数ψ的正则性相比如何？
• RQ3 能否将由二符号势函数导出的隐马尔可夫链表示为具有霍尔德势函数的吉布斯测度？
• RQ4 对于霍尔德势函数，r步马尔可夫逼近序列μ_ψ_r的弱-*极限是否等于原始吉布斯测度μ_ψ？
• RQ5 马尔可夫逼近到吉布斯测度的收敛速率如何由势函数的变差表示？

主要发现

• 对于A^N上任意霍尔德连续势函数ψ，符号合并下测度μ_ψ∘π⁻¹的前推在B^N上是吉布斯性的。
• 若ψ是霍尔德连续的，则B^N上的诱导势函数φ也是霍尔德连续的，其正则性相比ψ略有降低。
• 当ψ为二符号势函数时，所得的隐马尔可夫链是吉布斯性的，且与一个霍尔德势函数相关联。
• r步马尔可夫逼近序列μ_ψ_r在r→∞时弱-*收敛于原始吉布斯测度μ_ψ。
• 收敛速率由求和式∑_s (|w| + (s+1)(s+2)) var_s ψ + s θ^s控制，当r→∞时该和趋于零。
• 极限测度μ = lim_r→∞ μ_ψ_r由于遍历分量的唯一性，与μ_ψ一致。