[论文解读] On the Primes in the Interval [3n, 4n]

Andy Loo|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

History and Theory of Mathematics参考文献 1被引用 14

一句话总结

本文证明了对于每个正整数 $ n $，在区间 $[3n, 4n]$ 中至少存在一个素数，将伯特兰猜想（覆盖 $[n, 2n]$ 的情况）推广到了 $k=3$ 的情形。通过初等数论以及对二项式系数和素数阶乘的界估计，作者建立了 $[3n, 4n]$ 中素数数量的一个下界，该下界随着 $n$ 增大而趋于无穷，且不依赖于素数定理或复杂的解析工具。

ABSTRACT

For the old question whether there is always a prime in the interval [kn, (k+1)n] or not, the famous Bertrand's postulate gave an affirmative answer for k=1. It was first proved by P.L. Chebyshev in 1850, and an elegant elementary proof was given by P. Erdos in 1932. M. El Bachraoui used elementary techniques to prove the case k=2 in 2006. This paper gives a proof of the case k=3, again without using the prime number theorem or any deep analytic result. In addition we give a lower bound for the number of primes in the interval [3n, 4n], which shows that as n tends to infinity, the number of primes in the interval [3n, 4n] goes to infinity.

研究动机与目标

• 建立对每个正整数 $n$，在区间 $[3n, 4n]$ 中至少存在一个素数的证明，将伯特兰猜想推广至 $k=3$ 的情形。
• 提供一种初等证明——不依赖素数定理或复分析——以证明 $[3n, 4n]$ 中素数的存在性。
• 推导出 $[3n, 4n]$ 中素数数量的非平凡下界，且该下界随 $n$ 增大而增长。
• 证明当 $n$ 增大时，$[3n, 4n]$ 中的素数数量趋于无穷。

提出的方法

• 以二项式系数 $\binom{4n}{3n}$ 为核心对象，根据素数大小将其分解为三部分：$T_1$、$T_2$ 和 $T_3$。
• 应用关于 $\leq x$ 的素数乘积的界，使用引理 1.2：$\prod_{p \leq x} p \leq 4^x$。
• 通过函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 使用类似斯特林公式的界来估计 $n!$，满足 $g(n) < n! < f(n)$，并证明相关函数 $h_1(x)$ 和 $h_2(x)$ 的单调性。
• 分析每个素数 $p$ 在 $\binom{4n}{3n}$ 中的指数 $\beta(p)$，证明当 $\sqrt{4n} < p \leq 3n$ 时有 $\beta(p) \leq 1$，且在某些范围内（$p$ 的倍数超过 $4n$）有 $\beta(p) = 0$。
• 构造辅助的类似二项式乘积 $A$、$B$、$C$、$D$，以界定中间范围内素数对 $T_2$ 的贡献。
• 通过结合 $\binom{4n}{3n}$、$T_1$ 和 $T_2$ 的界，推导出 $T_3$ 的下界，即 $(3n, 4n]$ 中素数的乘积，并证明当 $n \to \infty$ 时 $T_3 \to \infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个正整数 $n$，区间 $[3n, 4n]$ 中是否至少存在一个素数？
• RQ2 该结果能否仅通过初等技巧证明，而无需依赖素数定理或复分析？
• RQ3 作为 $n$ 的函数，$[3n, 4n]$ 中素数数量的非平凡下界是什么？
• RQ4 当 $n$ 增大时，$[3n, 4n]$ 中的素数数量是否趋于无穷？

主要发现

• 对每个正整数 $n$，在区间 $[3n, 4n]$ 中至少存在一个素数。
• 当 $n$ 趋于无穷时，$[3n, 4n]$ 中的素数数量趋于无穷，即对任意 $m$，存在 $L$，使得对所有 $n \geq L$，在 $[3n, 4n]$ 中至少有 $m$ 个素数。
• $(3n, 4n)$ 中素数数量的下界为 $\log_{4n}\left(\frac{\sqrt{3}\pi^{3/2}}{332800}e^{E}M^{n}(4n)^{-\sqrt{n}}n^{-5/2}\right)$，且当 $n \to \infty$ 时该下界无界增长。
• 下界中的常数 $M$ 满足 $M > 1$，确保该下界具有指数增长趋势，且当 $n \to \infty$ 时 $e^E \to 1$。
• 该证明完全为初等方法，不依赖素数定理，仅基于阶乘、二项式系数和素数阶乘的界估计。
• 直接验证确认该结果对所有 $n < e^{12}$ 成立，而渐近论证覆盖了 $n \geq e^{12}$ 的情形，从而完整证明了对所有 $n \geq 1$ 成立。