[论文解读] On the Prym map of Galois covering

Abolfazl Mohajer|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本论文研究了具有阿贝尔与幂阿贝尔伽罗瓦群的代数曲线的伽罗瓦覆盖下的普里姆映射，确立了普里姆映射微分在何种条件下为单射的条件。通过构建数据与上同调技术，证明了当某些线丛度超过临界阈值时，阿贝尔覆盖下普里姆映射微分的单射性，并通过整体生成性与截面乘法映射的满射性，将该结果推广至幂阿贝尔覆盖。

ABSTRACT

In this paper we consider the Prym variety $P(\widetilde{C}/C)$ associated to a Galois coverings of curves $f:\widetilde{C} o C$ branched at $r$ points. We discuss some properties and equivalent definitions and then consider the Prym map $\mathcal{P}=\mathcal{P}(G,g,r):R(G,g,r) o A_{p,δ}$ with $δ$ the type of the polarization. For Galois coverings whose Galois group is abelian and metabelian (non-abelian) we show that the differential of this map at certain points is injective. We also consider the Abel-Prym map $u:\widetilde{C} o P(\widetilde{C}/C)$ and prove some results for its injectivity. In particular we show that in contrast to the classical and cyclic case, the behavior of this map here is more complicated. The theories of abelian and metabelian Galois coverings play a substantial role in our analysis and have been used extensively throughout the paper.

研究动机与目标

• 分析具有阿贝尔与幂阿贝尔伽罗瓦群的曲线伽罗瓦覆盖下的普里姆映射。
• 确定普里姆映射微分在模空间特定点处为单射的条件。
• 将关于循环伽罗瓦覆盖的阿贝尔-普里姆映射结果推广至非循环伽罗瓦覆盖。
• 利用阿贝尔与幂阿贝尔覆盖理论，内在地描述模空间 R(G,g,r)。
• 建立线丛及其全局截面的充分条件，以确保乘法映射的满射性，这对于微分的单射性至关重要。

提出的方法

• 利用阿贝尔伽罗瓦覆盖的简化构建数据来参数化模空间 R(G,g,r)。
• 通过乘法映射 μ: H⁰(ω_C ⊗ L_i^{⌊ni/2⌋}) ⊗ H⁰(ω_C ⊗ L_i^{ni−⌊ni/2⌋}) → H⁰(ω_C²(D_i)) 的上同调准则，评估普里姆映射微分的单射性。
• 在幂阿贝尔覆盖中，利用向量丛 U_χ = q_*F_χ 的理论，将分析从线丛推广至更一般情形。
• 依赖 [3, 定理 1]，以确保当线丛为非常 ample 或整体生成且度数足够大时，乘法映射的满射性。
• 使用条件 h⁰(ω_C² ⊗ L'² ⊗ U_χ ⊗ U_χ⁻¹) ≤ t(h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ) + h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ⁻¹)) − t²，以保证在幂阿贝尔情形下的满射性。
• 应用 [4] 与 [1] 中关于向量丛与线丛的全局生成性及乘法映射满射性的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔伽罗瓦覆盖下，普里姆映射微分在何种条件下为单射？
• RQ2 与经典循环情形相比，非循环伽罗瓦覆盖下阿贝尔-普里姆映射的行为有何不同？
• RQ3 构建数据的何种条件可确保用于普里姆映射微分的乘法映射的满射性？
• RQ4 阿贝尔伽罗瓦覆盖下的普里姆映射微分单射性能否推广至幂阿贝尔伽罗瓦覆盖？
• RQ5 线丛的全局截面与度数在决定普里姆映射单射性中起何种作用？

主要发现

• 对于阿贝尔覆盖，若当 n_i 为偶数时 d_i ≥ 6，或当 n_i 为奇数时 d_i ≥ 7，则普里姆映射微分 dP 为单射。
• 若存在特征标 χ 使得 deg(L_χ) ≥ 3 且 deg(L_χ⁻¹) ≥ 3，则 dP 为单射。
• 当 L_χ 与 L_χ⁻¹ 均为整体生成且 deg(L_χ) + deg(L_χ⁻¹) ≥ 5 时，微分 dP 仍为单射。
• 在幂阿贝尔情形下，若 ω_C ⊗ L' 为整体生成，且 U_χ、U_χ⁻¹ 均为整体生成，且满足 h⁰(ω_C² ⊗ L'² ⊗ U_χ ⊗ U_χ⁻¹) ≤ t(h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ) + h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ⁻¹)) − t²，则 dP 为单射。
• dP 的单射性通过全局截面乘法映射的满射性得以确立，而该满射性在所述度数与整体生成性条件下得以保证。
• 本文提供了一个反例，表明当曲线为 g²¹₂ₕ 时，非循环伽罗瓦覆盖下阿贝尔-普里姆映射的单射性会失败，从而说明所列条件的必要性。