[论文解读] On the push&pull protocol for rumour spreading

Hüseyin Acan, Andrea Collevecchio+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文分析了图中异步推送&拉取协议的谣言传播问题，证明了平均传播时间与保证传播时间分别为 O(n log n) 和 Ω(log n)，且上下界在常数因子内紧密。研究建立了同步与异步版本之间的解析关系，表明异步传播时间与同步传播时间相差一个 O(log n) 因子，并提供了异步时间呈对数级而同步时间呈多项式级增长的实例。

ABSTRACT

The asynchronous push&pull protocol, a randomized distributed algorithm for spreading a rumour in a graph $G$, works as follows. Independent Poisson clocks of rate 1 are associated with the vertices of $G$. Initially, one vertex of $G$ knows the rumour. Whenever the clock of a vertex $x$ rings, it calls a random neighbour $y$: if $x$ knows the rumour and $y$ does not, then $x$ tells $y$ the rumour (a push operation), and if $x$ does not know the rumour and $y$ knows it, $y$ tells $x$ the rumour (a pull operation). The average spread time of $G$ is the expected time it takes for all vertices to know the rumour, and the guaranteed spread time of $G$ is the smallest time $t$ such that with probability at least $1-1/n$, after time $t$ all vertices know the rumour. The synchronous variant of this protocol, in which each clock rings precisely at times $1,2,\dots$, has been studied extensively. We prove the following results for any $n$-vertex graph: In either version, the average spread time is at most linear even if only the pull operation is used, and the guaranteed spread time is within a logarithmic factor of the average spread time, so it is $O(n\log n)$. In the asynchronous version, both the average and guaranteed spread times are $\Omega(\log n)$. We give examples of graphs illustrating that these bounds are best possible up to constant factors. We also prove theoretical relationships between the guaranteed spread times in the two versions. Firstly, in all graphs the guaranteed spread time in the asynchronous version is within an $O(\log n)$ factor of that in the synchronous version, and this is tight. Next, we find examples of graphs whose asynchronous spread times are logarithmic, but the synchronous versions are polynomially large. Finally, we show for any graph that the ratio of the synchronous spread time to the asynchronous spread time is $O(n^{2/3})$.

研究动机与目标

• 分析一般无向图中异步推送&拉取协议的平均传播时间与保证传播时间。
• 建立传播时间的紧致上下界，表明其分别为 Θ(log n) 和 O(n log n)。
• 比较协议的同步与异步版本之间的传播时间。
• 识别异步性能显著优于同步性能的图族。
• 提供同步与异步谣言传播时间之间的首个解析关系。

提出的方法

• 采用指数时钟模型，其中每个顶点拥有一个速率为 1 的独立泊松时钟，当其响起时触发推送或拉取操作。
• 将传播过程建模为一系列通信块，块大小分别为 S1, S2, ..., 并定义 Nb 为覆盖 2N 个顶点所需的最少块数。
• 引入一种“懒惰情景”耦合，以随机方式支配同步协议，从而通过基于块的分析实现比较。
• 应用切尔诺夫不等式，证明块大小之和以高概率超过 8gsta(G)n，从而得出对 Nb 的界。
• 利用条件概率与重复分析，界定某一块超过特定大小的概率，确保谣言传播的充分进展。
• 在特殊顶点处采用二级块分割规则，以避免分析中产生误导性依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 n 个顶点的图，异步推送&拉取协议的平均传播时间与保证传播时间的渐近行为是什么？
• RQ2 异步与同步版本的传播时间在量级上如何比较？
• RQ3 是否存在某些图，使得异步协议的传播时间为对数级，而同步协议的传播时间为多项式级？
• RQ4 同步与异步传播时间的比值是否可以有界？若可，最紧的界是什么？
• RQ5 图的导出率/顶点扩张性与异步模型中传播时间之间存在何种关系？

主要发现

• 在仅使用拉取操作的情况下，异步推送&拉取协议的平均传播时间最多为 n 的线性函数。
• 两种版本的保证传播时间均为 O(n log n)，且该界在常数因子内是紧致的。
• 异步传播时间的下界为 Ω(log n)，且对某些图族而言该下界是紧致的。
• 异步传播时间与同步传播时间相差一个 O(log n) 因子，且该因子是紧致的。
• 存在图族使得异步传播时间为 Θ(log n)，而同步传播时间为 Θ(n^c)（c > 0），表明存在显著的性能差距。
• 对于任意图，同步传播时间与异步传播时间的比值为 O(n^{2/3})，建立了两者差异的普遍上界。