[论文解读] On the rational Tur\'an exponents conjecture

Dong Yeap Kang, Jaehoon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文在有理Turán指数猜想方面取得重大进展，证明了对所有满足 $b > a$ 且 $b \equiv \pm 1 \pmod{a}$ 的整数 $a,b \geq 1$，$2 - \frac{a}{b}$ 是可实现的，从而确定了无穷多个新的可实现指数，并确认了 $2 - \frac{1}{m}$ 为极限点。此外，论文提出一个细分猜想，若成立，则可推出 $[1,2]$ 内所有有理数均为可实现的，将极值图论与图的结构性质联系起来。

ABSTRACT

The extremal number $\\mathrm{ex}(n,F)$ of a graph $F$ is the maximum number of edges in an $n$-vertex graph not containing $F$ as a subgraph. A real number $r \\in [1,2]$ is realisable if there exists a graph $F$ with $\\mathrm{ex}(n , F) = \\Theta(n^r)$. Several decades ago, Erd\\H{o}s and Simonovits conjectured that every rational number in $[1,2]$ is realisable. Despite decades of effort, the only known realisable numbers are $0,1, \\frac{7}{5}, 2$, and the numbers of the form $1+\\frac{1}{m}$, $2-\\frac{1}{m}$, $2-\\frac{2}{m}$ for integers $m \\geq 1$. In particular, it is not even known whether the set of all realisable numbers contains a single limit point other than two numbers $1$ and $2$. In this paper, we make progress on the conjecture of Erd\\H{o}s and Simonovits. First, we show that $2 - \\frac{a}{b}$ is realisable for any integers $a,b \\geq 1$ with $b>a$ and $b \\equiv \\pm 1 ~({\ m mod}\\:a)$. This includes all previously known ones, and gives infinitely many limit points $2-\\frac{1}{m}$ in the set of all realisable numbers as a consequence. Secondly, we propose a conjecture on subdivisions of bipartite graphs. Apart from being interesting on its own, we show that, somewhat surprisingly, this subdivision conjecture in fact implies that every rational number between 1 and 2 is realisable.

研究动机与目标

• 为解决长期存在的有理Turán指数猜想，识别出区间 $[1,2]$ 内新的可实现指数。
• 证明对于满足 $b > a$ 且 $b \equiv \pm 1 \pmod{a}$ 的整数 $a,b \geq 1$，$2 - \frac{a}{b}$ 是可实现的，扩展了已知结果。
• 提出一个关于二分图的新细分猜想，若成立，则可推出完整的有理Turán指数猜想。
• 通过吹入（blow-ups）和细分操作，为极值图提供结构洞见，特别是针对树和完全二分图。
• 识别出可实现指数集合中的新极限点，包括所有 $m \in \mathbb{N}$ 的 $2 - \frac{1}{m}$。

提出的方法

• 基于根树的吹入及其细分构造新极值图，以控制密度。
• 应用依赖随机选择方法的变体，控制邻域增长并确保避免禁止配置的稠密子图存在。
• 在二分图中应用Hall定理和匹配论证，嵌入特定子图如 $\mathrm{sub}(K_{s,t})$ 和 $T_{s,t}^\ell$。
• 引入 $D_{s,t}^\ell$ 的概念，即树 $D_{s,t}$ 的 $\ell$-吹入，通过递归邻域扩展分析极值数。
• 利用已知的极值界和约化定理（如Faudree-Simonovits）推导出细分图极值数的上界。
• 提出关于二分图 $1$-细分的极值数的猜想，表明其具有幂律缩放特性，且在细分下保持指数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知的 $1 + \frac{1}{m}$、$2 - \frac{1}{m}$ 和 $2 - \frac{2}{m}$ 之外，区间 $[1,2]$ 是否存在无穷多个新的可实现指数？
• RQ2 条件 $b \equiv \pm 1 \pmod{a}$ 是否可用于系统性地生成形如 $2 - \frac{a}{b}$ 的可实现指数？
• RQ3 对于满足 $\mathrm{ex}(n,F) = O(n^{1+\alpha})$ 的二分图 $F$，其 $1$-细分是否满足 $\mathrm{ex}(n,\mathrm{sub}(F)) = O(n^{1+\alpha/2})$？
• RQ4 对于大 $\ell$，树 $H_{t,s}$ 的 $\ell$-吹入的极值数是否渐近为 $\Theta(n^{1 + \frac{t}{1 + (s+1)t}})$？
• RQ5 在什么阈值 $\ell_0$ 之后，$D_{t-1,s-1}^\ell$ 的极值数会从 $O(n^{4/3})$ 转变为 $O(n^{2 - \frac{t}{st-1}})$？

主要发现

• 对于所有满足 $b > a$ 且 $b \equiv \pm 1 \pmod{a}$ 的整数 $a,b \geq 1$，$2 - \frac{a}{b}$ 是可实现的，显著扩展了已知可实现指数的集合。
• 作为推论，对每个 $m \in \mathbb{N}$，$2 - \frac{1}{m}$ 是可实现指数集合中的极限点，从而确立了无穷多个此类极限点。
• 所提出的细分猜想若成立，则意味着 $[1,2]$ 内所有有理数均为可实现的。
• 对于满足 $t \geq s$ 的 $K_{s,t}$ 的 $1$-细分，其极值数满足 $\mathrm{ex}(n,\mathrm{sub}(K_{s,t})) \leq O(n^{\frac{3}{2} - \frac{1}{4s-2}})$，优于先前的界。
• $D_{2,1}^2$ 的极值数为 $\Theta(n^{4/3})$，而当 $\ell$ 较大时，$\mathrm{ex}(n,D_{2,1}^\ell) = \Theta(n^{7/5})$，表明相变发生在 $\ell = 3$，而非 $\ell = 2$。
• 对于足够大的 $\ell$，$T_{4,7}^\ell$ 的极值数为 $\Theta(n^{10/7})$，通过吹入构造确认了新的可实现指数。