[论文解读] On the reconstruction problem in mirror symmetry

Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文在诺维科夫域上构造了一个刚性解析空间 $M^{\aisebox{1pt}{\scriptscriptstyle\vee}}_0$，作为拉格朗日子丛纤维化在光滑部分 $B_0$ 上的对偶环面丛纤维化上半平坦复结构的形变。通过编码全纯圆盘模空间中墙穿越现象的 $A_\infty$ 同态，该构造在 Maslov 指数为零且无阻碍的假设下实现了非阿基米德镜像对称框架，为 Fukaya 提出的 Maurer-Cartan 模空间粘连提供了几何实现。

ABSTRACT

Let π: M a B be a Lagrangian torus fibration with singularities such that the fibers are of Maslov index zero, and unobstructed. The paper constructs a rigid analytic space M_0^\chk over the Novikov field which is a deformation of the semi-flat complex structure of the dual torus fibration over the smooth locus B_0 of π. Transition functions of M_0^\chk are obtained via A-\infty homomorphisms which capture the wall-crossing phenomenon of moduli spaces of holomorphic disks.

研究动机与目标

• 为了通过 $A_\infty$ 代数的 Maurer-Cartan 模空间粘连实现 Fukaya 关于镜像对称重构的理论方法。
• 为了在光滑部分 $B_0$ 上的对偶环面丛纤维化上，构造一个镜像空间 $M^{\scriptscriptstyle\vee}_0$，作为半平坦复结构的形变。
• 为了利用 $A_\infty$ 同态将来自辛几何的瞬子修正纳入镜像空间的过渡函数中。
• 为了建立一个全局的赋值映射 $\mathsf{val}: M^{\scriptscriptstyle\vee}_0 \to B_0$，推广非阿基米德几何中的环面丛纤维化结构。
• 为了通过确保无阻碍性和 Maslov 指数为零的条件，为同调镜像对称提供一个几何框架。

提出的方法

• 使用诺维科夫域 $\Lambda$ 上 $A_\infty$ 代数的典范模型构造局部仿射域 $\mathscr{U}_i = \operatorname{Spec} \mathscr{O}_i$。
• 通过编码全纯圆盘模空间中墙穿越现象的 $A_\infty$ 同态，定义局部图册之间的过渡映射 $\Psi_{ij}$。
• 利用赋值映射 $\mathsf{val}$ 确保局部图册的相容性，并定义全局赋值 $\mathsf{val}: M^{\scriptscriptstyle\vee}_0 \to B_0$。
• 通过使用二维参数族的 $\omega$-容许几乎复结构，利用 Maurer-Cartan函子的同伦不变性，验证了上链条件 $\Psi_{jk}\Psi_{ij} = \Psi_{ik}$。
• 采用非阿基米德框架下的刚性解析几何处理 Floer 理论中的收敛性问题，以诺维科夫域上的空间取代复流形。
• 推导出显式的粘连公式 (4.12)，当瞬子修正消失时，该公式退化为 Kontsevich-Soibelman 的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $A_\infty$ 理论的 Maurer-Cartan 模空间粘连实现镜像对称中的重构问题？
• RQ2 来自全纯圆盘的瞬子修正在形变半平坦镜像结构中起什么作用？
• RQ3 如何在诺维科夫域上构造一个刚性解析镜像空间 $M^{\scriptscriptstyle\vee}_0$，使其捕捉原始拉格朗日子丛纤维化中的辛几何数据？
• RQ4 $A_\infty$ 同态在全纯圆盘模空间中如何编码墙穿越行为？
• RQ5 是否可以定义一个全局赋值映射 $\mathsf{val}: M^{\scriptscriptstyle\vee}_0 \to B_0$，以推广非阿基米德几何中的环面丛纤维化结构？

主要发现

• 该构造在诺维科夫域 $\Lambda$ 上产生了一个刚性解析空间 $M^{\scriptscriptstyle\vee}_0$，它是对光滑部分 $B_0$ 上对偶环面丛纤维化上半平坦复结构的形变。
• 过渡函数 $\Psi_{ij}$ 由显式给出的 $A_\infty$ 同态构成，这些同态纳入了来自辛几何的瞬子修正，推广了 Kontsevich-Soibelman 的构造。
• 通过使用二维参数族的几乎复结构和 Maurer-Cartan 函子的同伦不变性，验证了上链条件 $\Psi_{jk}\Psi_{ij} = \Psi_{ik}$。
• 赋值映射 $\mathsf{val}: M^{\scriptscriptstyle\vee}_0 \to B_0$ 是全局良定义的，且与粘连映射相容，推广了非阿基米德几何中的纤维化结构。
• 该构造不依赖于 $M$ 上的极化数据，尽管此类数据可能对 $M^{\scriptscriptstyle\vee}_0$ 的紧化是必要的。
• Maslov 指数为零和无阻碍性假设是关键：前者对卡拉比-丘流形中的特殊拉格朗日子流形是自动成立的，后者则是同调镜像对称成立所必需的。