[论文解读] On the Regularity of Hamiltonian Stationary Lagrangian manifolds

Jingyi Chen, Micah Warren|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文证明了在 $\mathbb{C}^n$ 中任意 $C^1$ 哈密顿平稳拉格朗日子流形必然是实解析的，从而建立了极小流形的莫雷定理在四阶情形下的类比。作者通过内部估计和坐标旋转技术，证明在凸性和小性条件下，具有 $C^{1,1}$ 潜在函数且 Hessian 有界的弱解是光滑的。

ABSTRACT

We prove a Morrey-type theorem for Hamiltonian stationary submanifolds of $\mathbb{C}^{n}$. Namely, if $L$ $\subset$ $\mathbb{C}^{n}$ is a $C^{1}$ Lagrangian submanifold with weakly harmonic Lagrangian phase $θ,$ then $L$ must be smooth. In the process we also discuss a local version of the equation, which is a nonlinear fourth order double divergence equation of the potential function whose gradient graph defines the Hamiltonian stationary submanifolds locally, and we establish full regularity and removability of singular sets of capacity zero for weak solutions with $C^{1,1}$ norm below a dimensional constant.

研究动机与目标

• 建立当潜在函数仅为 $C^1$ 时，$\mathbb{C}^n$ 中哈密顿平稳拉格朗日子流形的正则性。
• 将莫雷关于极小流形的经典结果推广到哈密顿平稳拉格朗日子流形的四阶情形。
• 在 Hessian 满足凸性和小性条件的前提下，证明具有 $C^{1,1}$ 潜在函数的哈密顿平稳方程弱解是光滑的。
• 展示对于四阶方程的弱解，容量为零的奇点集可被移除。
• 在适当的几何约束下，证明拉格朗日相位函数弱调和意味着完全正则性。

提出的方法

• 通过哈密顿扰动下的体积泛函变分公式，表述哈密顿平稳拉格朗日子流形。
• 将哈密顿平稳子流形局部表征为满足由欧拉-拉格朗日方程导出的四阶非线性椭圆方程的函数 $u$ 的梯度图。
• 采用几何表述，其中拉格朗日相位函数 $\theta = \operatorname{Im} \log \det(I + iD^2u)$ 满足 $\Delta_g \theta = 0$，即在图上定义的二阶方程。
• 应用坐标旋转技术，将 Hessian 变换为一致凸形式，从而可应用二阶椭圆理论。
• 利用双李普希茨坐标变换，将旋转后的坐标中的内部估计转移到原始坐标中，保持正则性。
• 利用 $\theta$ 关于 $D^2u$ 的奇性，将问题约化为分析 $-u$，其在旋转后变为一致凸，从而可应用已知的正则性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 极小流形的莫雷型正则性结果能否推广到哈密顿平稳拉格朗日子流形的四阶情形？
• RQ2 在潜在函数 $u$ 的 Hessian 满足何种条件下，哈密顿平稳方程的弱解是光滑的？
• RQ3 对于四阶哈密顿平稳方程的弱解，容量为零的奇点集是否可被移除？
• RQ4 拉格朗日相位函数 $\theta$ 的正则性与潜在函数 $u$ 的正则性有何关系？
• RQ5 在何种几何与分析条件下，一个在哈密顿扰动下临界的 $C^1$ 拉格朗日子流形是实解析的？

主要发现

• 任何 $C^1$ 哈密顿平稳拉格朗日子流形在 $\mathbb{C}^n$ 中都是实解析的，从而建立了莫雷定理的四阶类比。
• 在 Hessian 满足凸性条件的前提下，具有 $C^{1,1}$ 潜在函数且 $\|u\|_{C^{1,1}} \leq c(n)$ 的哈密顿平稳方程弱解是光滑的。
• 当 Hessian 有界且相位函数弱调和时，潜在函数 $u$ 可获得所有 $k$ 的内部 $C^{k,\alpha}$ 估计。
• 哈密顿平稳方程弱解的奇点集具有容量为零，且可被移除，即解可光滑地延拓至该集合。
• 经过适当的坐标旋转后，潜在函数变为一致凸，从而可应用二阶椭圆理论以获得完全正则性。
• 即使 $D^2u$ 仅连续或具有轻微间断，只要 $\|u\|_{C^{1,1}} \leq c(n)$ 且 $c(n)$ 足够小（依赖于维数），结论依然成立。