[论文解读] On the relevance of avoided crossings away from quantum critical point to the complexity of quantum adiabatic algorithm

Sergey Knysh, Vadim Smelyanskiy|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 22

一句话总结

本文挑战了关于在零横向场附近 avoided crossings 会导致随机 NP-完全问题的量子绝热算法中出现指数级小能隙的主张。通过考虑零场下能级简并性为指数级的修正微扰理论，作者表明此类 avoided crossings 需要较大的横向场（$O(1)$），而在此区域微扰理论失效，意味着所提出的失败机制可能性较低。分析表明，最小能隙并不随 $N$ 指数缩放，尽管最终复杂度仍不确定。

ABSTRACT

Two recent preprints [B. Altshuler, H. Krovi, and J. Roland, "Quantum adiabatic optimization fails for random instances of NP-complete problems", arXiv:0908.2782 and "Anderson localization casts clouds over adiabatic quantum optimization", arXiv:0912.0746] argue that random 4th order perturbative corrections to the energies of local minima of random instances of NP-complete problem lead to avoided crossings that cause the failure of quantum adiabatic algorithm (due to exponentially small gap) close to the end, for very small transverse field that scales as an inverse power of instance size N. The theoretical portion of this work does not to take into account the exponential degeneracy of the ground and excited states at zero field. A corrected analysis shows that unlike those in the middle of the spectrum, avoided crossings at the edge would require high [O(1)] transverse fields, at which point the perturbation theory may become divergent due to quantum phase transition. This effect manifests itself only in large instances [exp(0.02 N) >> 1], which might be the reason it had not been observed in the authors' numerical work. While we dispute the proposed mechanism of failure of quantum adiabatic algorithm, we cannot draw any conclusions on its ultimate complexity.

研究动机与目标

• 挑战关于在随机 NP-完全问题的量子绝热优化中，零横向场附近的 avoided crossings 会导致指数级小能隙的主张。
• 通过考虑零场下能级与激发态的指数级简并性，修正先前工作中微扰分析的不足。
• 评估在现实条件下，能谱边缘的 avoided crossings 是否可能导致指数级小能隙。
• 阐明微扰理论在估计随机组合优化问题中能级分裂与能隙缩放时的作用。
• 评估在量子绝热模型中，所提出的算法失败机制的有效性。

提出的方法

• 使用简并与非简并微扰理论重新分析局域态之间的能级分裂，修正零场下指数级简并性的影响。
• 识别出在某些式子配置下，来自简并微扰理论的修正项为 $O(\lambda^3)$，而不仅限于标准微扰理论中的 $O(\lambda^4)$。
• 证明能谱边缘的 avoided crossings 需要量级为 $O(1)$ 的横向场，而此区域微扰理论不再适用。
• 利用数值结果检验修正项的缩放行为，表明其可能随 $N$ 对数增长，而非先前假设的幂律缩放。
• 考虑超图结构与剪枝对简并性的影响，表明在大多数模型中指数级简并性依然存在。
• 主张对于有限 $\lambda < \lambda_c$ 时真正出现小能隙的概率，可能需要非微扰方法进行评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机 NP-完全问题的量子绝热算法中，能谱边缘的 avoided crossings 是否会导致指数级小能隙？
• RQ2 先前工作中微扰分析是否正确考虑了零横向场下状态的指数级简并性？
• RQ3 在能谱边缘发生 avoided crossings 所需的横向场强度是多少？这是否使微扰理论失效？
• RQ4 在简并基态存在的情况下，微扰修正项如何随系统尺寸 $N$ 缩放？
• RQ5 考虑到在大 $\lambda$ 时微扰理论失效，通过 $\lambda \to 0$ 附近小能隙导致的失败机制在物理上是否合理？

主要发现

• 参考文献 Alt09 中的微扰分析未能考虑零场下基态与激发态的指数级简并性，导致关于 avoided crossings 的错误结论。
• 能谱边缘的 avoided crossings 需要量级为 $O(1)$ 的横向场，而在此区域微扰理论因量子相变而不可靠。
• 来自简并微扰理论的能级分裂可达到 $O(\lambda^3)$，而不仅限于 $O(\lambda^4)$，且此类修正无法通过超图剪枝轻易消除。
• 数值结果表明，修正项随 $N$ 增长缓慢，可能呈对数增长，与先前假设的幂律缩放相矛盾。
• 在修正分析下，量子绝热算法中的最小能隙并不随 $N$ 指数缩放，尽管最终复杂度仍不确定。
• 对于有限 $\lambda < \lambda_c$ 时真正出现指数级小能隙的可能性，可能需要采用非微扰方法进行评估。