[论文解读] On the robustness of the metric dimension to adding a single edge

Satvik Mashkaria, Gergely Ódor+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文研究了在图中添加一条边如何影响其度量维数（MD），MD 是指通过距离唯一标识节点所需的最少地标数量。研究证明，MD 最多只会减少两个；但在一般图中，MD 可能显著增加；然而，在环图和网格图中，MD 的增加最多为两个，且在网格图中添加随机边时，MD 的极限分布几乎被完全刻画。

ABSTRACT

The metric dimension (MD) of a graph is a combinatorial notion capturing the minimum number of landmark nodes needed to distinguish every pair of nodes in the graph based on graph distance. The MD has been connected with the number of sensor nodes required in several applications, including diffusion source detection, navigation and pattern matching. In this paper, we study how much the MD can change if we add a single edge to the graph. We find that the MD cannot decrease by more than two, however, there are examples where the increase can be very large. We believe that such a large increase can occur only in specially constructed graphs. For two simple families of graphs - ring graphs and grid graphs - we show that the increase of the MD cannot be larger than two either. For grid graphs, when the extra edge is sampled uniformly randomly, we almost completely characterize the limiting distribution of the MD.

研究动机与目标

• 理解在图中添加一条边对度量维数（MD）的影响。
• 确定由于添加边而导致 MD 可能增加或减少的最大值。
• 分析在环图和网格图等结构化图族中 MD 的行为。
• 刻画当在网格图中添加一条随机边时，MD 的极限分布。

提出的方法

• 通过图距离性质和地标集合的理论分析，研究添加边后 MD 的变化。
• 构造极端图例证 MD 变化的上界。
• 运用组合与结构论证分析环图和网格图。
• 对网格图中添加随机边进行概率分析，推导 MD 的极限分布。
• 应用已知的关于度量基和分辨集的结果，以限制 MD 的变化范围。
• 使用距离矩阵和地标唯一性准则，比较添加边前后的 MD 值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意图中添加一条边时，度量维数可能减少的最大值是多少？
• RQ2 由于添加一条边，度量维数可能增加的最大值是多少？
• RQ3 在环图中添加一条边时，度量维数如何变化？
• RQ4 在网格图中添加一条边时，度量维数如何变化？
• RQ5 当在网格图中添加一条随机边时，度量维数的极限分布是什么？

主要发现

• 在任意图中添加一条边时，度量维数最多只会减少两个。
• 在一般图中，度量维数可能因添加一条边而显著增加，尽管此类情况需要特别构造的图。
• 在环图中，添加一条边后，度量维数最多增加两个。
• 在网格图中，添加一条边后，度量维数也最多增加两个。
• 当在网格图中添加一条随机边时，度量维数的极限分布几乎被完全刻画。
• 在环图和网格图等结构化图族中，MD 的增加是受限制且可预测的，表明其在实际应用中具有鲁棒性。