[论文解读] On the scaling limits of Galton Watson processes in varying environment

Vincent Bansaye, Florian Simatos|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文建立了在随机环境中，即使后代分布具有无限方差时，对重标引的Galton-Watson过程弱收敛的一般充分条件。它引入了一个关于极限过程Laplace指数的后向常微分方程，该方程推广了经典分支方程，并捕捉了非保守行为，包括由于环境瓶颈导致的有限时间内爆炸。

ABSTRACT

We establish a general sufficient condition for a sequence of Galton Watson branching processes in varying environment to converge weakly. This condition extends previous results by allowing offspring distributions to have infinite variance, which leads to a new and subtle phenomena when the process goes through a bottleneck and also in terms of time scales. Our assumptions are stated in terms of pointwise convergence of a triplet of two real-valued functions and a measure. The limiting process is characterized by a backwards ordinary differential equation satisfied by its Laplace exponent, which generalizes the branching equation satisfied by continuous state branching processes. Several examples are discussed, namely branching processes in random environment, Feller diffusion in varying environment and branching processes with catastrophes.

研究动机与目标

• 将随机环境中Galton-Watson过程的标度极限结果从有限方差情形推广至更一般情形。
• 刻画当后代分布可能具有无限方差时的极限过程，包括非保守行为。
• 建立一个能够处理均值后代数趋近于零的环境瓶颈的框架。
• 将经典分支方程推广为极限过程Laplace指数的后向常微分方程。
• 统一并扩展关于时变环境中Feller扩散和灾变分支过程的先前结果。

提出的方法

• 作者以Laplace指数的收敛性为核心分析工具，将Grimvall的方法扩展至时变非齐次情形。
• 通过其Laplace指数满足的后向常微分方程定义极限过程，该方程推广了标准分支方程。
• 关键技术突破在于提出了一种新的“瓶颈”概念，以解决非保守过程在近零繁殖率环境中出现的∞×0不定型问题。
• 证明依赖于由两个实函数和一个测度构成的三元组的收敛性，从而确保重标引过程的弱收敛性。
• 采用随机时间变换变换，并分析相关映射的连续性，借鉴了Lamperti和Ethier-Kurtz的技术。
• 分析包括对涉及跳跃成分的测度和积分的详细估计，使用一致有界性和紧性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当后代分布具有无限方差时，随机环境中Galton-Watson过程序列在何种条件下弱收敛？
• RQ2 当过程因环境瓶颈导致近零均值后代而发生有限时间内爆炸时，极限过程如何刻画？
• RQ3 经典分支方程的何种推广适用于具有时变后代分布的时变非齐次分支过程？
• RQ4 在无限方差情形下，极限过程的Laplace指数如何满足一个后向常微分方程？
• RQ5 该框架能否容纳已知模型，如随机环境中分支过程和时变环境中Feller扩散？

主要发现

• 本文建立了在随机环境中，即使后代分布具有无限方差时，重标引Galton-Watson过程弱收敛的一般充分条件。
• 极限过程由其Laplace指数满足的后向常微分方程刻画，该方程推广了经典分支方程。
• 该框架能够捕捉非保守行为，包括因通过近零均值后代的瓶颈而导致的有限时间内爆炸。
• 作者提出了一种新颖的瓶颈概念，解决了无限方差情形下的∞×0不定型问题。
• 该方法适用于若干重要模型，包括随机环境中分支过程和时变环境中Feller扩散，扩展了已知结果。
• 收敛性通过紧性与Laplace指数的收敛性证明，一致有界性对测度和积分的控制确保了必要的紧性。