[论文解读] On the self-adjointness of H+A*+A

Andrea Posilicano|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的两步Kreïn预解公式方法，用于构造形式哈密顿量 $ H + A^* + A $ 的自伴实现，其中 $ A $ 是自伴算符 $ H $ 的奇异微扰。该研究推导出一个显式的预解差公式，并证明了Nelson模型哈密顿量可作为带有重整化反项的正则化模型的范数预解极限，从而在量子场论中统一了奇异微扰理论与重整化方法。

ABSTRACT

Let $H:D(H)\subseteq{\mathscr F} o{\mathscr F}$ be self-adjoint and let $A:D(H) o{\mathscr F}$ (playing the role of the annihilator operator) be $H$-bounded. Assuming some additional hypotheses on $A$ (so that the creation operator $A^{*}$ is a singular perturbation of $H$), by a twofold application of a resolvent Krein-type formula, we build self-adjoint realizations $\hat H$ of the formal Hamiltonian $H+A^{*}+A$ with $D(H)\cap D(\hat H)=\{0\}$. We give an explicit characterization of $D(\hat H)$ and provide a formula for the resolvent difference $(-\hat H+z)^{-1}-(-H+z)^{-1}$. Moreover, we consider the problem of the description of $\hat H$ as a (norm resolvent) limit of sequences of the kind $H+A^{*}_{n}+A_{n}+E_{n}$, where the $A_{n}\!$'s are regularized operators approximating $A$ and the $E_{n}$'s are suitable renormalizing bounded operators. These results show the connection between the construction of singular perturbations of self-adjoint operators by Krein's resolvent formula and nonperturbative theory of renormalizable models in Quantum Field Theory; in particular, as an explicit example, we consider the Nelson model.

研究动机与目标

• 通过两次应用Kreïn的预解公式，为形式哈密顿量 $ H + A^* + A $ 提供自伴实现，其中 $ A $ 是自伴算符 $ H $ 的奇异微扰。
• 推导出预解差 $ (-\widehat{H}+z)^{-1} - (-H+z)^{-1} $ 的显式公式，以支持谱分析与散射分析。
• 证明Nelson模型哈密顿量 $ H_{\rm Nelson} $ 可作为正则化模型 $ H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ 的范数预解极限，其中 $ A_n $ 为正则化的湮灭算符，$ E_n $ 为重整化反项。
• 阐明算符 $ A H^{-1}_{\rm free} A^* $ 在逼近哈密顿量的Weyl函数中作为平衡项的作用，解释为何在重整化过程中需要 $ E_n $。
• 将基于Kreïn公式的奇异微扰方法与量子场论中的非微扰重整化框架相统一，尤其针对Nelson模型。

提出的方法

• 通过两次应用Kreïn的预解公式，将 $ H + A^* + A $ 构造为自伴实现 $ \widehat{H} $，将 $ A^* $ 视为对 $ H $ 的奇异微扰。
• 使用涉及Weyl函数与扩展参数的广义预解公式，最终预解表达为 $ (-H+z)^{-1} $、$ G_z = (A R_{\bar{z}})^* $ 与块矩阵求逆的形式。
• 引入一个中间哈密顿量 $ \widehat{H}_0 $，通过奇异微扰 $ H_{\rm free} $ 构造，随后将 $ H_{\rm Nelson} $ 作为 $ \widehat{H}_0 $ 的奇异微扰，从而实现Kreïn公式的双重应用。
• 构造一组带有紫外截断的正则化算符 $ A_n $，并定义 $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $，其中 $ E_n $ 是由基态能量展开导出的重整化反项。
• 通过证明对应Weyl函数与扩展参数 $ T_n \to T_{\rm Nelson} $ 的收敛性，证明 $ H_n $ 在范数预解意义下收敛于 $ H_{\rm Nelson} $。
• 利用恒等式 $ A_{{T_{\rm Nelson}}}G_z = T_{\rm Nelson} - A(G - G_z) $，其中 $ G_z = (-H_{\rm free} + z)^{-1} $，将最终预解表达为自由预解与极限扩展参数的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nelson模型哈密顿量能否通过Kreïn预解公式对自伴算符进行奇异微扰构造，从而提供显式的预解差公式？
• RQ2 正则化哈密顿量 $ H_n $ 的Weyl函数与极限 $ H_{\rm Nelson} $ 的Weyl函数有何不同？项 $ A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ 起何作用？
• RQ3 为何在逼近 $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ 中需要重整化反项 $ E_n $？它与 $ T_n $ 收敛至 $ T_{\rm Nelson} $ 的关系为何？
• RQ4 由 $ \{ \Psi \in \mathfrak{F} : \Psi + (A H^{-1}_{\rm free})^* \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}) \} $ 给出的Nelson哈密顿量的自伴定义域是否与奇异微扰框架相容？
• RQ5 Nelson模型哈密顿量能否作为正则化模型的范数预解极限实现？确保该收敛性的条件是什么？

主要发现

• 通过两次连续应用Kreïn预解公式，构造了 $ H + A^* + A $ 的自伴实现 $ \widehat{H} $，且满足 $ \text{dom}(\widehat{H}) \cap \text{dom}(H) = \{0\} $。
• 推导出显式的预解差公式：$$ (-\widehat{H}+z)^{-1} - (-H+z)^{-1} = -[G_z \quad R_z] \begin{bmatrix} A_{T_{\rm Nelson}} G_z & G_{\bar{z}}^* - 1 \\ G_z - 1 & R_z \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} G_{\bar{z}}^* \\ R_z \end{bmatrix} $$，其中 $ R_z = (-H+z)^{-1} $，$ G_z = (A R_{\bar{z}})^* $。
• Nelson哈密顿量的定义域被表征为 $ \text{dom}(H_{\rm Nelson}) = \{ \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}^{1-s}) : \Psi + (A H^{-1}_{\rm free})^* \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}) \} $，其中 $ s > 3/4 $。
• 序列 $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ 在范数预解意义下收敛于 $ H_{\rm Nelson} $，其中 $ A_n $ 为正则化的湮灭算符，$ E_n $ 为重整化反项。
• 证明了 $ T_n = E_n - A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ 在算子范数下收敛于 $ T_{\rm Nelson} $，从而确保了Kreïn框架中极限的合法性。
• 由差值 $ (A H^{-1}_{\rm free})^* - A(-H_{\rm free} + \bar{z})^{-1} $ 导出的项 $ -A(G - G_z) $ 在 $ H_{\rm Nelson} $ 的Weyl函数中起到正则化项的作用，解释了为何在逼近序列中需要 $ A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $。