[论文解读] Self-Adjoint Extensions by Additive Perturbations

Andrea Posilicano|ArXiv.org|Apr 24, 2001

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用 28

一句话总结

本文通过边界条件提出了一类自伴算子对称算子的新型加法分解，表明任意满足 $ D(A_\theta) \cap D(A) = \frak{N} $ 的自伴扩张 $ A_\theta $ 均可表示为 $ A_\theta = \bar{A} + T_\theta $，其中 $ \bar{A} $ 是 $ A $ 的闭包，$ T_\theta $ 是通过与亏瑕空间同构的希尔伯特空间上的自伴参数 $ \theta $ 定义的边界算子。该方法统一了 Kreĭn 的预解公式与 von Neumann 的扩张理论。

ABSTRACT

Let $A_\N$ be the symmetric operator given by the restriction of $A$ to $\N$, where $A$ is a self-adjoint operator on the Hilbert space $\H$ and $\N$ is a linear dense set which is closed with respect to the graph norm on $D(A)$, the operator domain of $A$. We show that any self-adjoint extension $A_Θ$ of $A_\N$ such that $D(A_Θ)\cap D(A)=\N$ can be additively decomposed by the sum $A_Θ=\A+T_Θ$, where both the operators $\A$ and $T_Θ$ take values in the strong dual of $D(A)$. The operator $\A$ is the closed extension of $A$ to the whole $\H$ whereas $T_Θ$ is explicitly written in terms of a (abstract) boundary condition depending on $\N$ and on the extension parameter $Θ$, a self-adjoint operator on an auxiliary Hilbert space isomorphic (as a set) to the deficiency spaces of $A_\N$. The explicit connection with both Kre\uın's resolvent formula and von Neumann's theory of self-adjoint extensions is given.

研究动机与目标

• 提供对定义在稠密图范数闭子空间 $ \frak{N} \subset D(A) $ 上的对称算子自伴扩张的新型加法分解。
• 建立基于边界条件的 Kreĭn 型预解公式与 von Neumann 自伴扩张分类之间的联系。
• 利用抽象边界条件将有限秩扰动理论推广至无限秩扩张。
• 显式关联 von Neumann 框架中的扩张参数 $ \theta $ 与酉映射，实现两种参数化之间的完全对应。

提出的方法

• 将对称算子 $ A_{\frak{N}} $ 定义为希尔伯特空间 $ \mathcal{H} $ 上自伴算子 $ A $ 在稠密子空间 $ \frak{N} $ 上的限制，且 $ \frak{N} $ 关于 $ D(A) $ 的图范数闭。
• 引入连续满射线性映射 $ \tau: D(A) \to \mathfrak{h} $，其核为 $ \frak{N} $，其中 $ \mathfrak{h} $ 是与 $ A_{\frak{N}} $ 的亏瑕空间 $ \mathcal{K}_\pm $ 同构的希尔伯特空间。
• 通过涉及边界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ 的 Kreĭn 类公式构造扩张 $ A_\theta $ 的预解式，其中 $ \theta $ 是 $ \mathfrak{h} $ 上的自伴算子。
• 将扩张重写为 $ A_\theta = \bar{A} + T_\theta $，其中 $ \bar{A} $ 是 $ A $ 在 $ \mathcal{H} $ 上的闭包，$ T_\theta $ 是映入 $ D(A) $ 强对偶空间的算子，通过 $ \tau $ 和 $ \theta $ 显式定义。
• 建立自伴参数 $ \theta $ 与 von Neumann 框架中酉映射 $ U: \mathcal{K}_+ \to \mathcal{K}_- $ 之间的双射对应，将边界条件方法与 von Neumann 理论联系起来。
• 验证算子 $ \widetilde{A} = \bar{A} + T $ 与 $ A^*_{\frak{N}} $ 一致，且在此对应下有 $ A_\theta = A_U $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将满足 $ \frak{N} \subset D(A) $ 稠密且在图范数下闭的对称算子 $ A_{\frak{N}} $ 的自伴扩张，分解为闭扩张与边界算子的加法形式？
• RQ2 边界条件参数 $ \theta $ 与 von Neumann 自伴扩张分类中酉映射 $ U: \mathcal{K}_+ \to \mathcal{K}_- $ 之间的精确关系为何？
• RQ3 Kreĭn 的预解公式能否通过 $ D(A) $ 强对偶空间中的边界条件加法扰动重新解释？
• RQ4 在何种条件下算子 $ \widetilde{A} = \bar{A} + T $ 与满足 $ D(\widehat{A}) \cap D(A) = \frak{N} $ 的自伴扩张 $ \widehat{A} $ 一致？
• RQ5 所获结果如何将有限秩扰动理论推广至无限秩扩张，特别是在 $ d $-集上的奇异扰动情形下？

主要发现

• 任意满足 $ D(A_\theta) \cap D(A) = \frak{N} $ 的自伴扩张 $ A_\theta $ 均可进行加法分解 $ A_\theta = \bar{A} + T_\theta $，其中 $ \bar{A} $ 是 $ A $ 在 $ \mathcal{H} $ 上的闭包，$ T_\theta $ 是取值于 $ D(A) $ 强对偶空间的良定义算子。
• 算子 $ T_\theta $ 通过边界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ 显式构造，其中 $ \tau $ 将 $ D(A) $ 映满至与亏瑕空间 $ \mathcal{K}_\pm $ 同构的希尔伯特空间 $ \mathfrak{h} $，且 $ \theta $ 是 $ \mathfrak{h} $ 上的自伴算子。
• 扩张 $ A_\theta $ 的预解式由 Kreĭn 型公式给出，该公式允许通过边界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ 刻画 $ A_\theta $ 的定义域。
• 自伴参数 $ \theta $ 与 von Neumann 的酉映射 $ U: \mathcal{K}_+ \to \mathcal{K}_- $ 之间的对应关系被显式构造并可逆，表明在此映射下有 $ A_\theta = A_U $。
• 算子 $ \widetilde{A} = \bar{A} + T $ 与伴随算子 $ A^*_{\frak{N}} $ 一致，且 $ \widetilde{A} $ 是满足 $ D(\widetilde{A}) \cap D(A) = \frak{N} $ 的 $ A_{\frak{N}} $ 的自伴扩张，当且仅当存在某个自伴算子 $ \theta $ 使得边界条件 $ \tau\phi_\star = \theta Q_\phi $ 成立。
• 该框架推广了有限秩扰动理论：当亏瑕指标有限时，结果重现了文献 [3] 第 3.1 节中的有限秩扩张理论，并将其推广至无限秩情形，如三维空间中的点相互作用及满足 $ 0 < n-d < 2s $ 的 $ d $-集上的奇异扰动。