[论文解读] On the Shift Operator and Optimal Filtering in Graph Signal Processing.

Adnan Gavili, Xiao–Ping Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Advanced Graph Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型图移位算子，可保持信号能量，与以往使用邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的方法不同。通过证明所有平移不变图滤波器均可表示为该算子的多项式，建立了图上最优滤波的理论基础，并推导出图特定的维纳滤波器，证明经典维纳滤波是定向循环图上的特例。

ABSTRACT

Defining a sound shift operator for signals existing on a certain graph structure, similar to the well-defined shift operator in classical signal processing, is a crucial problem in graph signal processing. Since almost all operations, such as filtering, transformation, prediction, etc., are directly related to the graph shift operator. We define a unique set of shift operators that satisfy all properties of the shift operator in the classical signal processing, especially energy preservation property. Our definition of the graph shift operator negates the shift operators defined in the literature, such as the extit{graph adjacency matrix} as the shift operator, and extit{Laplacian matrix} based shift operators, etc., which modify the energy of a graph signal. We further show that any shift invariant graph filter can be written as a polynomial function of the graph shift operator. We also show that the adjacency matrix of a graph is indeed a linear shift invariant graph filter with respect to the defined shift operator. Inheriting the concepts of finite impulse response (FIR) and infinite impulse from classical signal processing, we introduce graph finite impulse response (GFIR) and graph infinite impulse response (GIIR) filters and obtain explicit forms for such filters. We further obtain the optimal filtering on graphs, i.e., the corresponding \emph{Wiener} filtering on graphs, and elaborate on the structure of such filters for any arbitrary graph structure. We specially treat the directed cyclic graph and show that the optimal linear shift invariant filter is indeed the \emph{Wiener} filter in classical signal processing. This result show that, optimal linear time invariant filters for time series data is a subset of optimal graph filters. We also elaborate on the best linear predictor graph filters and optimal filters for product graphs.

研究动机与目标

• 定义一种保持信号能量的图移位算子，以解决现有图信号处理框架中的关键局限性。
• 通过将此类滤波器表示为所提出移位算子的多项式函数，为平移不变图滤波建立严格的理论基础。
• 推导任意图上的最优线性滤波器，包括图有限和无限脉冲响应滤波器，以及图维纳滤波器。
• 证明经典时间序列上的维纳滤波是所提出的最优图滤波框架的特例。
• 利用所提出的移位算子框架，分析乘积图上最优线性预测与滤波问题。

提出的方法

• 通过从图的结构出发构造，定义一种满足所有经典信号处理特性的唯一图移位算子，特别是能量保持性。
• 证明任何平移不变图滤波器均可表示为所提出移位算子的多项式，确保滤波器设计框架的一致性。
• 引入图有限脉冲响应（GFIR）和图无限脉冲响应（GIIR）滤波器，类比经典FIR/IIR滤波器，并推导出其显式解析表达式。
• 在移位算子框架下，通过求解最小均方误差问题，推导出图的最优维纳滤波器。
• 将该框架应用于定向循环图，证明最优图滤波器退化为经典维纳滤波器，从而在时间序列与图滤波之间建立理论联系。
• 将该框架扩展至乘积图，以分析结构化图拓扑中的最优滤波与预测问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一种图移位算子，使其在信号转移过程中保持图信号的能量，而不同于现有算子（如邻接矩阵或拉普拉斯矩阵）？
• RQ2 所有平移不变图滤波器是否都能表示为一个良好定义的移位算子的多项式函数？这种表示形式具有何种重要意义？
• RQ3 在所提出的移位算子框架下，最优线性滤波器（如维纳滤波器）在任意图上的显式形式是什么？
• RQ4 经典时间序列上的维纳滤波是否可作为所提出的最优图滤波框架的特例？
• RQ5 如何利用新提出的移位算子框架，为乘积图形式化最优线性预测与滤波问题？

主要发现

• 所提出的图移位算子在保持信号能量方面具有唯一性，而邻接矩阵与拉普拉斯矩阵在信号转移过程中会扭曲能量。
• 所有平移不变图滤波器在数学上等价于所提出移位算子的多项式函数，从而实现统一的滤波器设计方法。
• 图的邻接矩阵被证明是相对于新移位算子的线性平移不变滤波器，验证了其在该框架内的自洽性。
• 图有限脉冲响应（GFIR）与图无限脉冲响应（GIIR）滤波器被正式定义，并推导出其显式解析表达式，将经典滤波概念扩展至图结构。
• 为任意图结构推导出最优图维纳滤波器，为图上最优信号估计提供了系统化方法。
• 在定向循环图上，最优线性平移不变图滤波器恰好退化为经典维纳滤波器，证明经典时间序列滤波是最优图滤波的一个子集。