[论文解读] On the signed graphs with two distinct eigenvalues

Farzaneh Ramezani|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Graph theory and applications参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文利用Hadamard矩阵和会议矩阵，构造了无限组具有恰好两个不同特征值的正则二分有向图，从而实现了正则Ramanujan图的显式构造。关键贡献在于提出了一种通过正交有向矩阵与2-提升生成Ramanujan图的方法，且其谱性质在补图和符号变换下保持不变。

ABSTRACT

We consider signed graphs, i.e, graphs with positive or negative signs on their edges. We construct some families of bipartite signed graphs with only two distinct eigenvalues. This leads to constructing infinite families of regular bipartite Ramanujan graphs.

研究动机与目标

• 利用组合设计构造恰好具有两个不同特征值的有向图。
• 建立正交有向矩阵与Ramanujan图之间的联系。
• 通过2-提升和谱性质，提供正则Ramanujan图的显式构造。
• 将双特征值有向图理论从完全图扩展至二分图与正则结构。

提出的方法

• 使用满足 $ CC^t = \alpha I $ 的对称正交有向矩阵 $ C $ 来定义有向图的邻接矩阵。
• 应用 $ * $-运算构造分块矩阵形式 $ C^* = \begin{pmatrix} O & C \\ C^t & O \end{pmatrix} $，以建模二分图。
• 通过签名对图进行2-提升，生成新图，其谱为原图谱与有向邻接谱的并集。
• 利用谱补图性质：若 $ G $ 是 $ k $-正则Ramanujan图且 $ k \leq n/2 $，则其二分补图 $ G_b^c $ 也是Ramanujan图。
• 利用会议矩阵 $ Co_n $ 和Hadamard矩阵 $ H_n $ 的性质，构造具有两个特征值的良好签名。
• 应用文献[8]中的结果：2-提升 $ \tilde{G}_s $ 的谱为 $ A(G) $ 与 $ A^s $ 谱的并集，从而实现Ramanujan性质的传递。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从仅具有两个不同特征值的有向图中构造出无限组正则Ramanujan图？
• RQ2 正交有向矩阵需满足何种条件，才能使其关联图成为Ramanujan图？
• RQ3 2-提升与谱补图如何在有向二分图中保持Ramanujan性质？
• RQ4 会议矩阵与Hadamard矩阵在构造双特征值有向图的良好签名中起到何种作用？
• RQ5 在二分图设置下，Ramanujan性质能否通过图补图继承？

主要发现

• 本文通过恰好具有两个不同特征值的有向图，构造了无限组正则Ramanujan图。
• 对于满足 $ CC^t = \alpha I $ 的 $ n $ 阶对称正交有向矩阵 $ C $，若 $ \alpha \geq 2 $ 且 $ \frac{1}{4}(k-1)^2 + k + 2 \leq n $，其中 $ k = n - 1 - \alpha $，则基图 $ G $ 为Ramanujan图。
• 当 $ k \geq 2 $ 时，$ kC_4 $ 的二分补图是Ramanujan图，其特征值为 $ \pm(2k-2), (\pm 2)^{k-1}, 0^{2k} $。
• 若 $ C $ 为正交有向矩阵，且 $ C^* $ 的基图为Ramanujan图，则 $ C^* $ 为良好签名，即其生成的2-提升为Ramanujan图。
• 若Ramanujan图 $ G $ 使用良好签名 $ s $ 进行2-提升，则所得图 $ \tilde{G}_s $ 仍为Ramanujan图，且谱界 $ \lambda_2 \leq 2\sqrt{d-1} $ 得到保持。
• 提供了显式构造：$ K_{n,n} $ 搭配签名 $ H_n^* $ 的特征值为 $ \pm n, \pm\sqrt{n}^n, 0^{2n-2} $；$ K_{n,n} \setminus M $ 搭配 $ Co_n^* $ 的特征值为 $ \pm(n-1), \pm\sqrt{n-1}^n, \pm 1^{n-1} $。