[论文解读] On the singularity of adjacency matrices for random regular digraphs

Nicholas A. Cook|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 25被引用 5

一句话总结

该论文证明，当 $ min(d, n-d) \geq C\log^2 n$ 且常数 $C>0$ 足够大时，$n$ 个顶点上的均匀随机 $d$-正则有向图的邻接矩阵在渐近几乎必然意义下可逆。证明依赖于一种新颖的洗牌耦合技术以控制边的分布，并应用集中不等式排除结构化和非结构化零空间向量，从而证明奇异性的概率以多项式速度衰减。

ABSTRACT

We prove that the (non-symmetric) adjacency matrix of a uniform random $d$-regular directed graph on $n$ vertices is asymptotically almost surely invertible, assuming $\min(d,n-d)\ge C\log^2n$ for a sufficiently large constant $C>0$. The proof makes use of a coupling of random regular digraphs formed by "shuffling" the neighborhood of a pair of vertices, as well as concentration results for the distribution of edges recently obtained by the author (arXiv:1410.5595). We also apply our general approach to prove a.a.s.\ invertibility of Hadamard products $Σ\circ Ξ$, where $Ξ$ is a matrix of iid uniform $\pm1$ signs, and $Σ$ is a 0/1 matrix whose associated digraph satisfies certain "expansion" properties.

研究动机与目标

• 确定均匀随机 $d$-正则有向图邻接矩阵的渐近可逆性概率。
• 将科姆洛斯关于独立同分布符号矩阵的奇异结果，推广至具有固定行和列和的结构化随机矩阵模型。
• 建立确保渐近几乎必然可逆性的度数 $d$ 的精确阈值。
• 开发一种通用框架，利用耦合与集中技术分析约束型随机矩阵集合中的奇异问题。

提出的方法

• 提出一种‘洗牌耦合’方法，通过交换顶点对的邻接关系，对随机正则有向图进行随机耦合，从而实现对边分布的有效控制。
• 应用测度集中不等式，以界定向量属于邻接矩阵核空间的概率。
• 区分结构化与非结构化零空间向量，并对每类采用定制化论证方法。
• 采用随机游走注入技术，分析稀疏向量中线性相关性的可能性。
• 通过矩阵的递归分解，基于部分行与列信息进行条件化，将问题简化为更小的子问题。
• 应用逆小伍德-奥福德理论与差异性界，控制固定向量属于核空间的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机 $d$-正则有向图的邻接矩阵在何种度数 $d$ 的阈值下，渐近几乎必然可逆？
• RQ2 能否利用耦合与集中技术，界定向量和固定行和列和的结构化随机矩阵的奇异概率？
• RQ3 底层有向图中扩张性质的存在如何影响邻接矩阵的可逆性？
• RQ4 通过改进的耦合与集中论证，能否将可逆性的度数阈值降低至 $n^{1/2+\varepsilon}$ 以下？

主要发现

• 当 $ min(d, n-d) \geq C\log^2 n$ 且常数 $C>0$ 足够大时，均匀随机 $d$-正则有向图的邻接矩阵渐近几乎必然可逆。
• 在所述度数条件下，奇异概率以多项式速度衰减，具体为 $\mathbb{P}(\det(M)=0) \ll n^{-100}$。
• 洗牌耦合技术成功控制了边的分布，并支持了对随机正则有向图依赖结构的分析。
• 该方法通过结合集中不等式与随机游走注入技术，同时排除了结构化与非结构化零空间向量。
• 该结果可推广至哈达玛积 $\Sigma \circ \Xi$，其中 $\Xi$ 具有独立同分布的 $\pm1$ 元素，且 $\Sigma$ 满足扩张性质，在类似度数条件下依然成立。
• 该证明框架为分析非独立同分布情形下约束型随机矩阵模型的可逆性，提供了一般性方法。