[论文解读] Spectrum Preserving Short Cycle Removal on Regular Graphs

Pedro Paredes|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Graph theory and applications参考文献 24被引用 2

一句话总结

本文提出了一种针对正则图的谱保持型短环消除技术，在提升圈数的同时维持谱界。通过利用无自行车图性（bicycle-freeness）及基于新型2-提升的去随机化方法，该方法在多项式时间poly(n)内构造出显式、确定性的d-正则图，其圈数为Ω(√log n)，且特征值与Ramanujan界2√(d−1)的偏差在ϵ以内，从而以高概率实现ϵ-近Ramanujan扩张。

ABSTRACT

We describe a new method to remove short cycles on regular graphs while maintaining spectral bounds (the nontrivial eigenvalues of the adjacency matrix), as long as the graphs have certain combinatorial properties. These combinatorial properties are related to the number and distance between short cycles and are known to happen with high probability in uniformly random regular graphs. Using this method we can show two results involving high girth spectral expander graphs. First, we show that given d ⩾ 3 and n, there exists an explicit distribution of d-regular Θ(n)-vertex graphs where with high probability its samples have girth Ω(log_{d-1} n) and are ε-near-Ramanujan; i.e., its eigenvalues are bounded in magnitude by 2√{d-1} + ε (excluding the single trivial eigenvalue of d). Then, for every constant d ⩾ 3 and ε > 0, we give a deterministic poly(n)-time algorithm that outputs a d-regular graph on Θ(n)-vertices that is ε-near-Ramanujan and has girth Ω(√{log n}), based on the work of [Mohanty et al., 2020].

研究动机与目标

• 构造显式、确定性的d-正则图，使其具有高圈数和近似最优的谱扩张性能。
• 在正则图中消除短环时，保持谱界（特征值集中性）。
• 将[MOP19]的去随机化框架扩展至同时实现高圈数与ϵ-近Ramanujan谱特性。
• 证明可通过组合性、谱保持型的环消除过程，同时实现高圈数与近Ramanujan扩张。
• 提供一种确定性多项式时间poly(n)算法，用于生成具有圈数Ω(√log n)且λ(G) ≤ 2√(d−1) + ϵ的d-正则图。

提出的方法

• 引入一种基于2-提升的新操作‘fix’，可在消除短环的同时保持谱界。
• 利用半径r处的‘无自行车图性’（bicycle-freeness）通过不相交球论证来限制短环数量。
• 应用定理1.8的推广版本，以确保在环消除过程中谱特性得以保持。
• 采用依赖于半径的环计数上界：|Cycr(G)| ≤ n/(d−1)^r，该界源于环代表元周围r-球的不相交性。
• 通过选择确保在半径(1/5)logd−1 n0处具有无自行车图性的种子，对初始图生成过程进行去随机化。
• 将‘fix’操作与[MOP19]的第一步进行修改后结合，生成具有期望圈数与谱特性的初始图。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在不降低谱扩张性能的前提下，对正则图中的短环进行消除？
• RQ2 能否设计一种确定性多项式时间poly(n)算法，生成同时具备高圈数与ϵ-近Ramanujan谱特性的d-正则图？
• RQ3 在特定半径处的无自行车图性是否能保证环消除过程不破坏谱界？
• RQ4 是否可通过2-提升系统性地增加图的圈数，同时保持谱集中性？
• RQ5 是否能够对随机正则图构造过程进行去随机化，以同时实现高圈数与近似最优扩张？

主要发现

• 该方法在Θ(n)个顶点上构造出d-正则图，其圈数为Ω(√log n)，且λ(G) ≤ 2√(d−1) + ϵ，时间复杂度为确定性多项式时间poly(n)。
• ‘fix’操作保持谱界：当应用于λ(G) = Λ的图时，有λ(fix(G)) ≤ Λ + on(1)。
• 若图在半径α logd−1 n处为无自行车图，则通过‘fix’操作可转化为圈数为(α/3) logd−1 n的图。
• 在半径(1/5)logd−1 n0处产生无自行车图的种子比例为1 − on(1)，从而实现高效去随机化。
• 该构造以高概率实现ϵ-近Ramanujan扩张，其谱性能与均匀随机d-正则图相当。
• 该方法将[MOP19]的去随机化框架推广至包含圈数控制，从而实现显式、高圈数、近似最优扩张的图构造。