[论文解读] On the space of almost complex structures

Н. А. Даурцева, N. K. Smolentsev|ArXiv.org|Feb 15, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了光滑、定向、2n维流形上几乎所有复结构的无穷维流形，证明其自然地赋予弱伪黎曼结构与几乎复结构，二者共同使其成为凯勒流形。通过使用Cayley变换进行参数化，作者证明了正相关几乎复结构子流形与正交几乎复结构子流形均为测地子流形，且本身也是凯勒流形，从而推广了辛几何中关于相关度量与复结构的早期结果。

ABSTRACT

The space ${\mathcal A}$ of almost complex structures on a closed manifold $M$ is studied. A natural parametrization of the space ${\mathcal A}$ is defined. It is shown, that ${\mathcal A}$ is a infinite dimensional complex weak Pseudo-Riemannian manifold. A curvature of the space ${\mathcal A}$ is found. The space ${\mathcal A}_ω$ of associated almost complex structures on a symplectic manifold $M,ω$ and space ${\mathcal AO}$ of orthogonal almost complex structures on a Riemannian manifold $M,g_0$ are considered in more detail.

研究动机与目标

• 研究闭合、定向、2n维流形上所有光滑几乎复结构空间的微分几何结构。
• 将辛几何中关于相关度量与几乎复结构空间的早期结果，推广至所有几乎复结构的完整空间。
• 分析子流形的几何性质：正相关几乎复结构与正交几乎复结构。
• 确立这些子流形可从所有几乎复结构的全空间继承凯勒结构。

提出的方法

• 使用Cayley变换对几乎复结构空间进行参数化，通过 $ J = J_0(1+K)(1-K)^{-1} $ 将反对称自同态映射为几乎复结构。
• 通过固定黎曼体积形式下对自同态复合的迹的积分，定义几乎复结构空间上的弱伪黎曼度量。
• 通过设定 $ \mathbf{J}_J(A) = A \circ J $，在空间 $ \mathcal{A} $ 上引入几乎复结构 $ \mathbf{J}_J $，其中 $ A \in T_J\mathcal{A} $ 为切向量。
• 通过 $ \Omega_J(A,B) = \int_M \mathrm{tr}(AJB) \, d\mu(g_0) $ 构造一个非退化、反对称的2-形式 $ \Omega $，并证明其与度量和几乎复结构相容。
• 利用映射 $ \Phi: \mathcal{U}(J_0) \to \mathcal{V}(J_0) $ 的局部坐标，定义为 $ K = (1 - JJ_0)^{-1}(1 + JJ_0) $，将几何结构表达为局部形式。
• 证明每个点 $ J $ 处的切空间微分同构于 $ \mathrm{End}_J(TM) $，即与 $ J $ 反交换的自同态空间，并计算坐标映射的微分，以关联不同坐标图中的切向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自然几何结构下，光滑、闭合、定向流形上所有几乎复结构的空间是否构成凯勒流形？
• RQ2 正相关几乎复结构与正交几乎复结构的子流形在所有几乎复结构的全空间中如何嵌入？
• RQ3 全空间上几乎复结构的几何结构（度量、几乎复结构、辛形式）能否以保持凯勒性质的方式限制到子流形上？
• RQ4 Cayley变换在参数化几乎复结构空间及实现局部计算中起到何种作用？

主要发现

• 在闭合、定向、2n维流形上所有光滑几乎复结构的空间 $ \mathcal{A} $ 是一个无穷维ILH-流形，其上赋予一个弱伪黎曼度量，定义为 $ (A,B)_J = \int_M \mathrm{tr}(A \circ B) \, d\mu(g_0) $。
• 空间 $ \mathcal{A} $ 具备一个由 $ \mathbf{J}_J(A) = A \circ J $ 定义的几乎复结构 $ \mathbf{J}_J $，以及一个非退化、反对称的2-形式 $ \Omega $，使得 $ \mathcal{A} $ 成为凯勒流形。
• 正相关几乎复结构子流形 $ \mathcal{A}_\omega $ 在 $ \mathcal{A} $ 中是完全测地的，且从 $ \mathcal{A} $ 继承了凯勒结构。
• 正交几乎复结构子流形 $ \mathcal{AO}(M) $ 在 $ \mathcal{A} $ 中也是完全测地的，且其上具有负定伪黎曼度量，构成凯勒流形。
• 通过Cayley变换 $ J = J_0(1+K)(1-K)^{-1} $ 的局部参数化，实现了 $ \mathcal{A} $ 中 $ J_0 $ 的邻域与 $ \mathrm{End}_{J_0}(TM) $ 的开子集之间的微分同胚，从而可在坐标下显式计算几何结构。
• 坐标映射 $ \Phi^{-1} $ 的微分为 $ A^* = 2J_0(1-K)^{-1}A(1-K)^{-1} $，该式允许在局部坐标中识别切向量。