[论文解读] On the Stability of Kähler-Einstein Metrics

Xianzhe Dai, Xiaodong Wang+1 more|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文通过使用 spin c 结构，证明了总标量曲率泛函在共形方向上的二阶变分非负，从而建立了具有非正标量曲率的凯勒爱因斯坦度量的稳定性。关键结果是：此类度量是稳定的；在复形变可积的条件下，它们是雅姆贝不变量的局部极大值，并在标量曲率至少等于凯勒爱因斯坦度量的度量中最小化体积。

ABSTRACT

Using spin$^c$ structure we prove that Kähler-Einstein metrics with nonpositive scalar curvature are stable (in the direction of changes in conformal structures) as the critical points of the total scalar curvature functional. Moreover if all infinitesimal complex deformation of the complex structure are integrable, then the Kähler-Einstein metric is a local maximal of the Yamabe invariant, and its volume is a local minimum among all metrics with scalar curvature bigger or equal to the scalar curvature of the Kähler-Einstein metric.

研究动机与目标

• 建立具有非正标量曲率的凯勒爱因斯坦度量作为总标量曲率泛函临界点的稳定性。
• 通过使用 spin c 几何，将此前对 Ricci 平坦流形的稳定性结果推广至具有非正标量曲率的爱因斯坦流形。
• 研究可积无穷小复形变对雅姆贝不变量和体积极小性的几何影响。
• 刻画凯勒爱因斯坦度量在具有有界标量曲率的度量形变下的局部行为。
• 探讨平行 spin c 自旋子的存在性与二阶变分算子正性之间的关系。

提出的方法

• 利用 spin c 结构，将基于自旋子的稳定性分析从 Ricci 平坦流形推广至具有非正标量曲率的凯勒爱因斯坦流形。
• 推导出一个类似博赫纳的公式，将算子 $\nabla^*\nabla - 2\overset{\circ}{R}$ 与扭曲狄拉克算子的平方联系起来。
• 在非正里奇曲率假设下，证明该公式中曲率差项非负。
• 应用李希纳洛维奇拉普拉斯恒等式，证明对于具有非负里奇曲率的凯勒流形，$\mathcal{L}_g$ 是半正定的。
• 利用 Kodaira-Spencer 理论和 Kuranishi 定理分析复形变的可积性及其对模空间的影响。
• 依赖于凯勒流形上的典范 spin c 结构，该结构保证了非零平行 spin c 自旋子的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非正标量曲率的凯勒爱因斯坦度量作为总标量曲率泛函的临界点是稳定的？
• RQ2 非零平行 spin c 自旋子的存在性如何影响总标量曲率的二阶变分？
• RQ3 何时所有凯勒爱因斯坦结构的无穷小复形变都是可积的，其几何后果是什么？
• RQ4 在可积形变下，具有负标量曲率的凯勒爱因斯坦度量是否可以是雅姆贝不变量的局部极大值？
• RQ5 在所有标量曲率至少等于凯勒爱因斯坦度量的度量中，具有负标量曲率的凯勒爱因斯坦度量的体积是否被最小化？

主要发现

• 具有非正标量曲率的凯勒爱因斯坦度量在共形形变方向上是稳定的，因为总标量曲率的二阶变分是非负的。
• 对于具有非正里奇曲率的凯勒流形，算子 $\nabla^*\nabla - 2\overset{\circ}{R}$ 是半正定的。
• 在所有无穷小复形变可积的条件下，凯勒爱因斯坦度量是雅姆贝不变量的局部极大值。
• 具有负标量曲率的凯勒爱因斯坦度量的体积在所有标量曲率至少等于该凯勒爱因斯坦度量的度量中是最小的。
• 若所有复形变均可积，则任何具有常数标量曲率的凯勒爱因斯坦度量的形变本身也必须是凯勒爱因斯坦的。
• 无穷小复形变的可积性等价于存在一个复解析族，其 Kodaira-Spencer 映射是满射，这一条件在许多例子中成立，包括 $\mathbb{CP}^n$ 中的高次超曲面。