[论文解读] On the stability of locally conformal Kaehler structures

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文建立了局部共形凯勒（l.c.k.）结构在复结构和平坦线丛的小变形下的上同调稳定性准则。通过使用 $L$-值 Dolbeault 与 de Rham 上同调，证明了若对偶 $(X,L)$ 在度数 $(0,2)$ 满足 $ abla\overline{\partial}$-引理且 $H^3(X,L)=0$，则 l.c.k. 结构在这些变形下保持稳定。该结果应用于霍普夫流形与伊奈欧表面，表明即使不存在全局势函数，其结构依然稳定。

ABSTRACT

In this article we develop a new approach to the problem of the stability of locally conformally Kähler structures (l.c.k structures) under small deformations of complex structures and deformations of flat line bundles. We show that under the certain cohomological condition the stability of l.c.k structures does hold. We apply our approach to Hopf manifolds and its generalizations to obtain the stability of l.c.k structures which do not have potential in general. We give an explicit description of the cohomological obstructions of the stability of l.c.k structures on Inoue surfaces with $b_2=0$.

研究动机与目标

• 建立一个上同调条件，以确保局部共形凯勒（l.c.k.）结构在复结构的小变形下保持稳定。
• 将稳定性分析扩展至与 l.c.k. 结构相关的平坦线丛的变形。
• 为非凯勒曲面（特别是 $b_2 = 0$ 的伊奈欧曲面）提供显式障碍，此时基于势函数的方法失效。
• 将广义凯勒几何中的变形理论技术推广至 l.c.k. 设置，使用 $L$-值微分形式。

提出的方法

• 为与 l.c.k. 结构 $\omega$ 关联的平坦线丛 $L$ 引入 $L$-值 de Rham 与 Dolbeault 上同调群。
• 将 $L$-值 $(0,2)$ 度的 $ abla\overline{\partial}$-引理定义为稳定性所需的关键分析条件。
• 在 $d_L$-算子下，构造 l.c.k. 形式 $\omega$ 到 $L$-值闭形式的提升 $\tilde{\omega}$。
• 利用 $d_\eta$-复形上的 Hodge 理论，其中 $\eta$ 为 Lee 形式，分析调和代表元与上同调类。
• 将 $H^3(X,L)$ 计算为同时变形复结构与平坦线丛的障碍。
• 将理论应用于具体例子：霍普夫流形、广义霍普夫流形与伊奈欧曲面，计算 $L$-值 Bott-Chern 上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种上同调条件下，局部共形凯勒结构在复结构的小变形下保持稳定？
• RQ2 当对应的平坦线丛也被变形时，l.c.k. 结构是否仍可变形？其障碍为何？
• RQ3 $L$-值形式的 $ abla\overline{\partial}$-引理在确保 l.c.k. 结构稳定性中起何作用？
• RQ4 对于 $b_2 = 0$ 的伊奈欧曲面，尽管缺乏全局凯勒势函数，其是否仍存在稳定的 l.c.k. 结构？
• RQ5 $L$-值 Bott-Chern 上同调群如何在非凯勒曲面上检测变形的障碍？

主要发现

• 对偶 $(X,L)$ 在度数 $(0,2)$ 满足 $ abla\overline{\partial}$-引理，是 l.c.k. 结构在复结构小变形下保持稳定的充分条件。
• 对于霍普夫流形及其推广，对某些平坦线丛，$ abla\overline{\partial}$-引理成立，从而保证了 l.c.k. 结构的稳定性。
• 在伊奈欧曲面 $S_M$ 上，$[\eta \wedge \omega] \neq 0$ 属于 $H^3_{\eta}(S_M) \cong H^3(S_M, L)$，证明当变形平坦线丛时，不存在光滑的 l.c.k. 结构族。
• 对于伊奈欧曲面 $S_{N,p,q,r}^{(-)}$，$[\eta \wedge \omega]$ 在 $H^3_{\eta}(S^{(-)})$ 中非零，阻碍了在变形线丛下存在光滑的 l.c.k. 结构族。
• $H^3(X,L)$ 的消失是变形平坦线丛时存在光滑 l.c.k. 结构族的必要条件。
• 为 $b_2 = 0$ 的伊奈欧曲面显式计算了上同调障碍，表明尽管满足 $ abla\overline{\partial}$-引理，l.c.k. 结构在变形线丛下仍不稳定。