[论文解读] On the Stability of Multilinear Dynamical Systems

Can Chen|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Tensor decomposition and applications参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文通过张量Z-特征值，在动态张量正交可分解（odeco）的条件下，建立了离散时间多线性动力系统渐近稳定性的必要且充分条件。通过Z-特征值与Z-特征向量导出显式解，作者表明稳定性取决于动态张量的谱半径，并提供了Z-谱半径的有效上界以判断稳定性；同时，通过奇异值将结果推广至非odeco张量。

ABSTRACT

This paper investigates the stability properties of discrete-time multilinear dynamical systems via tensor spectral theory. In particular, if the dynamic tensor of a multilinear dynamical system is orthogonally decomposable (odeco), we can construct its explicit solution by exploiting tensor Z-eigenvalues and Z-eigenvectors. Based on the form of the explicit solution, we illustrate that the Z-eigenvalues of the dynamic tensor play a significant role in the stability analysis, offering necessary and sufficient conditions. In addition, by utilizing the upper bounds of Z-spectral radii, we are able to determine the asymptotic stability of the multilinear dynamical system efficiently. Furthermore, we extend the stability results to the multilinear dynamical systems with non-odeco dynamic tensors by exploiting tensor singular values. We demonstrate our results via numerical examples.

研究动机与目标

• 利用张量谱理论研究离散时间多线性动力系统的稳定性特性。
• 基于Z-特征值与Z-特征向量，为具有正交可分解（odeco）动态张量的系统推导显式解公式。
• 基于动态张量的Z-谱半径，建立必要且充分的稳定性条件。
• 通过张量奇异值与Frobenius范数，将稳定性分析推广至非odeco动态张量。
• 探讨多线性控制系统在可 stabilizability、可 reachability 与 Lyapunov 理论方面的未来研究方向。

提出的方法

• 本文通过利用张量Z-特征值与Z-特征向量，为具有odeco动态张量的离散时间多线性动力系统推导出显式解。
• 基于Z-特征值的模长制定稳定性条件，表明当且仅当Z-谱半径小于1时，系统实现渐近稳定。
• 作者为偶数阶对称张量的Z-谱半径提供了上界，以实现无需完整计算所有Z-特征值的高效稳定性验证。
• 对于非odeco张量，通过张量Frobenius范数与p-模奇异值作为谱行为的代理，进行稳定性分析。
• 通过数值例子验证了理论结果，展示了所提上界与条件的有效性。
• 本文基于控制子空间的迭代张成，提出了多线性控制系统可达性的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有odeco动态张量的离散时间多线性动力系统，其渐近稳定性的必要且充分条件是什么？
• RQ2 如何利用张量Z-特征值与Z-特征向量为这类系统构造显式解？
• RQ3 能否通过Z-谱半径的上界实现无需完整特征值计算的高效稳定性判断？
• RQ4 如何将稳定性分析推广至具有非odeco动态张量的多线性系统？
• RQ5 多线性控制系统中可达性与动态张量结构及控制输入之间存在何种关系？

主要发现

• 对于odeco动态张量，多线性系统的渐近稳定性由Z-谱半径决定：当且仅当Z-谱半径严格小于1时，系统渐近稳定。
• 通过Z-特征值与Z-特征向量推导出显式解公式，可直接分析系统轨迹与稳定性。
• 为偶数阶对称张量的Z-谱半径提供了上界，使得无需计算所有Z-特征值即可实现高效的稳定性检查。
• 对于非odeco张量，通过张量Frobenius范数与p-模奇异值评估稳定性，为完整谱分析提供了实用替代方案。
• 通过构建等价的多线性表示，该结果可应用于齐次多项式动力系统。
• 提出了多线性控制系统可达性的猜想：当且仅当控制子空间的迭代张成生成全空间R^n时，系统可达，尤其在系统阶数k为偶数时成立。