[论文解读] Stability of Polynomial Differential Equations: Complexity and Converse Lyapunov Questions

Amir Ali Ahmadi, Pablo A. Parrilo|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 61被引用 14

一句话总结

本文证明了判断三次向量场的渐近稳定性是强 NP-难问题，构造了一个全局渐近稳定但不存在多项式李雅普诺夫函数的二次系统，并证明了对于平面或齐次多项式系统，若存在多项式李雅普诺夫函数，则必存在一个其导数为平方和（sos）的李雅普诺夫函数。这些结果解决了关于多项式系统稳定性分析中平方和优化复杂性与局限性的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We consider polynomial differential equations and make a number of contributions to the questions of (i) complexity of deciding stability, (ii) existence of polynomial Lyapunov functions, and (iii) existence of sum of squares (sos) Lyapunov functions. (i) We show that deciding local or global asymptotic stability of cubic vector fields is strongly NP-hard. Simple variations of our proof are shown to imply strong NP-hardness of several other decision problems: testing local attractivity of an equilibrium point, stability of an equilibrium point in the sense of Lyapunov, invariance of the unit ball, boundedness of trajectories, convergence of all trajectories in a ball to a given equilibrium point, existence of a quadratic Lyapunov function, local collision avoidance, and existence of a stabilizing control law. (ii) We present a simple, explicit example of a globally asymptotically stable quadratic vector field on the plane which does not admit a polynomial Lyapunov function (joint work with M. Krstic). For the subclass of homogeneous vector fields, we conjecture that asymptotic stability implies existence of a polynomial Lyapunov function, but show that the minimum degree of such a Lyapunov function can be arbitrarily large even for vector fields in fixed dimension and degree. For the same class of vector fields, we further establish that there is no monotonicity in the degree of polynomial Lyapunov functions. (iii) We show via an explicit counterexample that if the degree of the polynomial Lyapunov function is fixed, then sos programming may fail to find a valid Lyapunov function even though one exists. On the other hand, if the degree is allowed to increase, we prove that existence of a polynomial Lyapunov function for a planar or a homogeneous vector field implies existence of a polynomial Lyapunov function that is sos and that the negative of its derivative is also sos.

研究动机与目标

• 确定判断多项式微分方程稳定性的计算复杂度。
• 研究全局渐近稳定系统是否总是存在多项式李雅普诺夫函数。
• 检查当存在多项式李雅普诺夫函数时，是否存在平方和（sos）李雅普诺夫函数。
• 在特定系统类别中解决多项式与 sos 李雅普诺夫函数的逆李雅普诺夫问题。
• 阐明平方和规划在多项式系统稳定性验证中的局限性与保证。

提出的方法

• 通过从已知的 NP-难问题约化，证明了对三次向量场进行局部与全局渐近稳定性测试是强 NP-难的。
• 构造了一个平面上全局渐近稳定二次向量场的显式例子，该系统不承认任何多项式李雅普诺夫函数。
• 证明了对于齐次向量场，渐近稳定性并不意味着存在有界次数的多项式李雅普诺夫函数，且该最小次数可任意大。
• 提供了一个反例，表明即使存在有效的李雅普诺夫函数，固定次数的平方和（sos）规划也可能失败。
• 证明了若平面或齐次向量场存在多项式李雅普诺夫函数，则必存在一个其导数也为 sos 的李雅普诺夫函数。
• 利用齐次化与 Positivstellensatz 类型结果，将稳定性问题转化为平方和可行性问题，借助代数几何工具进行处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断多项式向量场的渐近稳定性是否计算上困难？
• RQ2 所有全局渐近稳定的多项式系统是否都承认多项式李雅普诺夫函数？
• RQ3 当存在李雅普诺夫函数时，平方和（sos）规划是否总能找出该函数，特别是对于固定次数的搜索？
• RQ4 对于齐次或平面系统，若存在多项式李雅普诺夫函数，是否意味着存在一个其导数为 sos 的 sos 李雅普诺夫函数？
• RQ5 能否基于系统系数建立多项式李雅普诺夫函数次数的可计算上界？

主要发现

• 判断三次向量场的局部或全局渐近稳定性是强 NP-难问题，这意味着除非 P = NP，否则不存在高效算法。
• 存在一个平面上全局渐近稳定的二次向量场，其不承认任何多项式李雅普诺夫函数，从而推翻了一个自然猜想。
• 对于齐次多项式向量场，渐近稳定性不能保证存在有界次数的多项式李雅普诺夫函数；其最小次数可任意大。
• 齐次系统的多项式李雅普诺夫函数的次数并非单调——高次系统可能需要低次李雅普诺夫函数。
• 若允许多项式李雅普诺夫函数的次数增长，则其存在性意味着在平面或齐次系统中，存在一个其导数也为 sos 的平方和（sos）李雅普诺夫函数。
• 对于平面或齐次系统，任何多项式李雅普诺夫函数都意味着存在一个径向无界的、sos 的李雅普诺夫函数，且其负导数为正定，从而可通过半定规划实现稳定性验证。