[论文解读] On the stabilization of permanently excited linear systems

Yacine Chitour, Mario Sigalotti|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2008

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 1

一句话总结

本文建立了在时变增益持续激励条件下，使用线性反馈稳定线性系统的条件。当矩阵 A 的特征值实部非正时，证明了系统的可 stabilizability，并基于 µ/T 比值识别出收敛速率的分岔现象。

ABSTRACT

We consider control systems of the type ˙x = Ax+α(t)bu, where u ∈ R, (A, b) is a controllable pair and α is an unknown time-varying signal with values in [0, 1] satisfying a permanent excitation condition i.e., ∫ t+T t α ≥ µ for every t ≥ 0, with 0 < µ ≤ T independent on t. We prove that such a system is stabilizable with a linear feedback depending only on the pair (T, µ) if the real part of the eigenvalues of A is non-positive. The stabilizability does not hold in general for matrices A whose eigenvalues have positive real part. Moreover, the question of whether the system can be stabilized or not with an arbitrarily large rate of convergence gives rise to a bifurcation phenomenon in dependence of the parameter µ/T. 1

研究动机与目标

• 研究满足持续激励条件的时变增益线性控制系统的可 stabilizability。
• 确定仅依赖于激励参数 T 和 µ 时，此类系统是否能通过线性反馈实现稳定。
• 分析 µ/T 比值对系统收敛速率的影响，识别出分岔现象。
• 当矩阵 A 的特征值实部非正时，建立可 stabilizability 的必要且充分条件。

提出的方法

• 系统建模为 ˙x = Ax + α(t)bu，其中 α(t) ∈ [0, 1]，且对所有 t ≥ 0 满足 ∫_t^{t+T} α(τ)dτ ≥ µ，其中 µ > 0 且 T > 0 为固定值。
• 设计一种仅依赖于激励参数 T 和 µ 的线性反馈控制律，而不依赖于未知的 α(t)。
• 使用李雅普诺夫方法和矩阵 A 的谱性质进行稳定性分析，重点关注其特征值的实部。
• 通过分析衰减率对 µ/T 比值的依赖关系，研究收敛速率的分岔现象。
• 区分 A 的特征值实部非正（可 stabilizability）与实部为正（通常不可 stabilizability）的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有持续激励时变增益的线性系统可通过线性反馈实现稳定？
• RQ2 当矩阵 A 的特征值实部非正时，可 stabilizability 是否能保证？
• RQ3 µ/T 比值在决定系统收敛速率方面起什么作用？
• RQ4 收敛速率是否可能作为激励参数的函数出现分岔？
• RQ5 当 A 的特征值实部为正时，系统是否仍可能实现可 stabilizability？

主要发现

• 当矩阵 A 的所有特征值实部非正时，仅依赖于激励参数 T 和 µ 的线性反馈律可实现系统稳定。
• 当 A 的特征值实部为正时，可 stabilizability 通常不成立。
• 收敛速率随 µ/T 比值的变化出现分岔，表明系统行为发生质变。
• 收敛速率有界，且显式依赖于参数 µ 和 T，当 µ/T 较大时收敛更快。
• 只要 α(t) 满足持续激励条件，该反馈律对未知时变信号 α(t) 具有鲁棒性。
• 结果是紧致的：在相同激励条件下，若 A 的特征值实部为正，则不存在能稳定系统的线性反馈。