[论文解读] Strong Structural Controllability of Linear Time-Varying Systems.

Gunther Reißig, Christoph Hartung+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems被引用 2

一句话总结

本文研究了仅已知系数矩阵 A(t)、B(t)、C(t) 和 D(t) 的非零模式时，线性时变系统的强结构可控性与可观测性。研究结果表明，确保所有可能的非零时变函数下系统可控与可观测的模式，可通过图论条件表征，且连续时间系统相比离散时间或时不变系统具有更严格的要求。

ABSTRACT

In this note we consider continuous-time systems x'(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t), y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t), as well as discrete-time systems x(t+1) = A(t) x(t) + B(t) u(t), y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) whose coefficient matrices A, B, C and D are not exactly known. More precisely, all that is known about the systems is their nonzero pattern, i.e., the locations of the nonzero entries in the coefficient matrices. We characterize the patterns that guarantee controllability and observability, respectively, for all choices of nonzero time functions at the matrix positions defined by the pattern, which extends a result by Mayeda and Yamada for time-invariant systems. As it turns out, the conditions on the patterns for time-invariant and for time-varying discrete-time systems coincide, provided that the underlying time interval is sufficiently long. In contrast, the conditions for time-varying continuous-time systems are more restrictive than in the time-invariant case.

研究动机与目标

• 确定哪些矩阵非零模式可确保对所有可能的时变系数函数均实现可控性与可观测性。
• 将先前关于时不变系统强结构可控性的结果，扩展至时变系统。
• 比较连续时间与离散时间时变系统在可控性方面所需的结构条件。
• 识别时变离散时间系统的条件何时与时不变系统相同。

提出的方法

• 通过图论方法，基于系数矩阵的非零模式对系统动态进行建模。
• 通过表示系统结构的有向图，定义可达性与可观测性条件。
• 应用结构系统理论的结果，表征那些无论非零元素取值如何均能保证可控性与可观测性的模式。
• 通过分析时变系数对结构特性的影响，区分连续时间与离散时间系统。
• 该方法依赖于强结构可控性的概念，即系统对指定模式下所有非零函数的选择均保持可控。
• 研究表明，对于足够长的时间区间，时变离散时间系统的模式要求与时不变系统相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续时间线性系统中，哪些系数矩阵的非零模式可确保对所有可能的时变非零函数均实现可控性？
• RQ2 是否与确保时不变系统强结构可控性的相同模式条件也适用于时变离散时间系统？
• RQ3 连续时间与离散时间时变系统在强可控性结构要求方面有何不同？
• RQ4 在何种条件下，时变离散时间系统的模式要求可简化为时不变系统的情形？
• RQ5 时间区间长度在决定时变系统与时不变系统之间模式条件等价性方面起什么作用？

主要发现

• 当时间区间足够长时，时变离散时间系统的强结构可控性条件与时不变系统相同。
• 对于时变连续时间系统，所需的模式条件比时不变系统更严格。
• 本文表征了确保系数矩阵中所有非零时变函数选择下系统可控性与可观测性的模式。
• 可观测性的结构条件也以类似方式表征，并表明其依赖于与可控性相同的图论模式。
• 研究结果将 Mayeda 与 Yamada 关于时不变系统的成果扩展至时变场景，保持了核心洞见：仅凭模式即可决定结构特性。
• 分析证实，系统矩阵的时变性引入了额外约束，尤其在连续时间系统中，这是由于微分结构所致。