[论文解读] On the structure of cofree Hopf algebras

Jean-Louis Loday, Marı́a Ronco|ArXiv.org|May 17, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过证明任意余自由霍普夫代数同构于 $U2(\mathrm{Prim}\,\mathcal{H})$，其中 $\mathrm{Prim}\,\mathcal{H}$ 是一个 $\mathop{B_{\infty}}$-代数，建立了霍普夫代数的非余交换版本的卡蒂埃-米勒-莫泽定理与庞加莱-伯克霍夫-维特定理。该构造依赖于一个从 $\mathop{B_{\infty}}$-代数到二重结合代数的新函子 $U2$，并通过平面有根树给出显式实现。

ABSTRACT

We prove an analogue of the Poincare'-Birkhoff-Witt theorem and of the Cartier-Milnor-Moore theorem for non-cocommutative Hopf algebras. The primitive part of a cofree Hopf algebra is a B-infini-algebra. We construct a universal enveloping functor U2 from B-infini-algebras to 2-associative algebras, i.e. algebras equipped with two associative operations. We show that any cofree Hopf algebra H is of the form U2(Prim H). We take advantage of the simple description of the free 2as-algebra in terms of planar trees to unravel the structure of the operad B-infini.

研究动机与目标

• 将卡蒂埃-米勒-莫泽定理与庞加莱-伯克霍夫-维特定理推广至非余交换霍普夫代数。
• 识别余自由霍普夫代数的本源部分为 $\mathop{B_{\infty}}$-代数而非李代数。
• 构造从 $\mathop{B_{\infty}}$-代数到二重结合代数的普遍包络函子 $U2$。
• 通过平面有根树提供自由二重结合代数的显式组合描述。
• 通过 $U2$ 函子与 $\mathop{B_{\infty}}$-操作族建立余自由霍普夫代数的结构定理。

提出的方法

• 引入二重结合双代数的概念，将双代数结构与单位元无穷小双代数结构结合。
• 将从 $\mathop{B_{\infty}}$-代数到二重结合代数的普遍包络函子 $U2$ 定义为自由二重结合代数的商代数。
• 将自由二重结合代数构造为平面有根树上的张量代数，通过组合方式定义运算与余乘法。
• 利用自由二重结合代数的描述，证明对任意余自由霍普夫代数 $\mathcal{H}$，有 $U2(\mathrm{Prim}\,\mathcal{H}) \cong \mathcal{H}$。
• 证明操作族 $\mathop{B_{\infty}}$ 同构于 $K[T\!\!T_n] \otimes K[S_n]$，其中 $T\!\!T_n$ 是具有 $n$ 片叶子的平面有根树的集合。
• 建立平面有根树的霍普夫代数的自对偶性，并表明其与康奈斯-克雷默霍普夫代数具有结构相似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非余交换的余自由霍普夫代数中，什么结构取代了本源部分的李代数？
• RQ2 如何将庞加莱-伯克霍夫-维特定理与卡蒂埃-米勒-莫泽定理从余交换情形推广？
• RQ3 $\mathop{B_{\infty}}$-代数在编码余自由霍普夫代数的本源部分中起什么作用？
• RQ4 如何构造并组合实现 $\mathop{B_{\infty}}$-代数的普遍包络代数？
• RQ5 自由二重结合代数的精确操作族结构是什么？其与平面树的关系如何？

主要发现

• 任意余自由霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 同构于 $U2(\mathrm{Prim}\,\mathcal{H})$，其中 $U2$ 是从 $\mathop{B_{\infty}}$-代数到二重结合代数的普遍包络函子。
• 余自由霍普夫代数的本源部分自然地携带一个 $\mathop{B_{\infty}}$-代数结构。
• 向量空间 $V$ 上的自由二重结合代数同构于具有 $n$ 片叶子的平面有根树集合上的张量代数。
• 操作族 $\mathop{B_{\infty}}$ 的描述为 $\mathop{B_{\infty}}(n) = K[T\!\!T_n] \otimes K[S_n]$，其中 $T\!\!T_n$ 是具有 $n$ 片叶子的平面有根树的集合。
• 平面有根树的霍普夫代数是自对偶的，并与康奈斯-克雷默霍普夫代数具有结构相似性。
• $U2$ 的构造为自由 $\mathop{B_{\infty}}$-代数提供了新实现，即自由二重结合代数的本源部分。