[论文解读] On the structure of $\infty$-Harmonic maps

Nicholas Katzourakis|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Apr 24, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 7

一句话总结

本文研究了 ∞-调和映射的结构——即作为 $ E_\infty(u,\Omega) = \|H(Du)\|_{L^\infty(\Omega)} $ 的 L∞-变分问题的欧拉-拉格朗日方程的退化拟线性偏微分方程的解，重点关注 $ n=2 \leq N $ 的情形，其中 $ H(P) = \frac{1}{2}|P|^2 $。本文建立了关于秩一映射的刚性定理，证明了 $ |Du| $ 的零点不存在，并通过极坐标刻画了解的结构，表明当 $ k \neq 1 $ 时，解为一维的；而当 $ k=1 $ 时，解位于一个二维平面内，并满足具有几何约束的特定常微分方程组。

ABSTRACT

Let $H \in C^2(\mathbb{R}^{N imes n})$, $H\geq 0$. The PDE system \[ \label{1} A_\infty u \, :=\, \Big(H_P \otimes H_P + H [H_P]^\bot H_{PP} \Big)(Du) : D^2 u\, = \, 0 ag{1} \] arises as the ``Euler-Lagrange PDE" of vectorial variational problems for the functional $E_{\infty}(u,Ω) = \| H(Du) \|_{L^\infty(Ω)}$ defined on maps $u : Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$. \eqref{1} first appeared in the author's recent work \cite{K3}. The scalar case though has a long history initiated by Aronsson in \cite{A1}. Herein we study the solutions of \eqref{1} with emphasis on the case of $n=2\leq N$ with $H$ the Euclidean norm on $\mathbb{R}^{N imes n}$, which we call the ``$\infty$-Laplacian". By establishing a rigidity theorem for rank-one maps of independent interest, we analyse a phenomenon of separation of the solutions to phases with qualitatively different behaviour. As a corollary, we extend to $N \geq 2$ the Aronsson-Evans-Yu theorem regarding non-existence of zeros of $|Du|$ and prove a Maximum Principle. We further characterise all $H$ for which \eqref{1} is elliptic and also study the initial value problem for the ODE system arising for $n=1$ but with $H(\cdot,u,u')$ depending on all the arguments.

研究动机与目标

• 分析向量值 $ L^\infty $ 变分法中的 ∞-调和映射结构，特别是针对 $ n=2 \leq N $ 的情形。
• 理解当梯度模 $ |Du| $ 为零或 $ Du $ 的秩发生变化时，∞-拉普拉斯方程解的行为。
• 将阿龙松-埃文斯-余定理中关于 $ |Du| $ 不存在零点的结果推广到 $ N \geq 2 $ 的向量值情形。
• 刻画所有使得 ∞-拉普拉斯系统为椭圆的哈密顿量 $ H $。
• 研究当 $ H $ 依赖于 $ u, u' $ 时，$ n=1 $ 情形下所出现的常微分方程组的初值问题。

提出的方法

• 通过将 $ p $-拉普拉斯系统在 $ p \to \infty $ 时的极限形式推导出 ∞-拉普拉斯方程，利用 $ Du $ 的像空间与零空间上的正交投影。
• 应用秩一映射的刚性定理，分析基于 $ Du $ 秩的解的分解为不同相态。
• 使用极坐标 $ (\rho, \theta) $ 将偏微分方程约化为径向齐次解 $ u = \rho^k f(k\theta) $ 的常微分方程组。
• 推导出两个常微分方程：(6.1) 用于切向分量，(6.2) 用于 Hessian 的法向分量，利用系统的旋转不变性结构。
• 使用几何投影 $ [Du]^\perp $，其在 $ Du $ 的秩发生变化时为不连续，以识别相界和界面奇点。
• 应用粘性解技巧与正则性分析，处理偏微分方程中的退化性与不连续系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在向量值情形 $ n=2, N\geq 2 $ 下，∞-调和映射的结构行为如何，特别是当 $ |Du| $ 为零或 $ Du $ 的秩发生变化时？
• RQ2 ∞-拉普拉斯方程的解如何分解为具有不同行为特征的相态，例如一维与二维图像行为？
• RQ3 阿龙松-埃文斯-余定理中关于 $ |Du| $ 不为零的结论能否推广到 $ N \geq 2 $ 的向量值情形？
• RQ4 哈密顿量 $ H $ 需满足何种条件，才能保证 ∞-拉普拉斯系统为椭圆？
• RQ5 当 $ n=1 $ 时，若 $ H $ 依赖于 $ u $ 和 $ u' $，∞-拉普拉斯常微分方程组的解具有何种结构？

主要发现

• 当 $ k \neq 1 $ 时，所有以极坐标形式 $ u = \rho^k f(k\theta) $ 表示的 ∞-拉普拉斯方程的解均具有恒定秩一，且像位于过原点的直线上。
• 当 $ k = 1 $ 时，解的秩至多为二，且像位于一个二维平面内；其可表示为 $ f(\theta) = c\cos B(\theta)(\cos A(\theta), \sin A(\theta))^\top $，其中 $ |B'|^2 + |A'|^2 \cot^2 B = 1 $ 且 $ 0 < B \leq \pi/2 $。
• 本文证明了当 $ N \geq 2 $ 时，$ |Du| $ 在定义域内部不可能为零，将阿龙松-埃文斯-余定理推广至向量值情形。
• 当且仅当 $ H $ 的 Hessian 在 $ H_P $ 的零空间上满足特定非退化条件时，系统为椭圆，该条件在本文中被明确刻画。
• 如 $ u(x,y) = e^{ix} - e^{iy} $ 这类解，由于在界面处秩发生跳跃，导致系数不连续，从而引发相分解为二维与一维区域。
• 在 $ H $ 满足适当的正则性与非退化性假设下，$ n=1 $ 情形的常微分方程组初值问题具有适定性。