[论文解读] $\\mathcal{D}$-solutions to the system of vectorial Calculus of Variations in $L^\\infty$ via the singular value problem

Gisella Croce, Nikos Katzourakis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文通过奇异值问题，以 $\mathcal{D}$-解的形式引入了 $L^\infty$ 中向量值变分法的广义解，构造了 $W^{1,\infty}$-满射作为无须假设哈密顿量 $\mathrm{H}$ 凸性的全非线性系统之广义解。关键贡献在于在一般维度 $n \neq N$ 下，首次建立了奇异值问题强解的存在性结果，从而通过贝尔纲方法与 Young 测度构造出 $\mathcal{D}$-解。

ABSTRACT

For $\\mathrm{H} \\in C^2(\\mathbb{R}^{N \ imes n})$ and $u : \\Omega \\subseteq \\mathbb{R}^n \ o \\mathbb{R}^N$, consider the system \\[ \\label{1}\\mathrm{A}\\_\\infty u\\, :=\\,\\Big(\\mathrm{H}\\_P \\otimes \\mathrm{H}\\_P + \\mathrm{H}[\\mathrm{H}\\_P]^\\bot \\mathrm{H}\\_{PP}\\Big)(\\mathrm{D} u): \\mathrm{D}^2 u\\, =\\,0. \ ag{1}\\]We construct $\\mathcal{D}$-solutions to the Dirichlet problem for (1), an apt notion of generalised solutions recently proposed for fully nonlinear systems. Our $\\mathcal{D}$-solutions are $W^{1,\\infty}$-submersions and are obtained without any convexity hypotheses for $\\mathrm{H}$, through a result of independent interest involving existence of strong solutions to the singular value problem for general dimensions $n\ eq N$.

研究动机与目标

• 建立向量值 $L^\infty$ 变分法中全非线性系统之广义解概念 $\mathcal{D}$-解。
• 在不假设哈密顿量 $\mathrm{H}$ 凸性的情况下，求解 $\mathrm{A}_{\infty}$-系统之狄利克雷问题。
• 证明在一般维度 $n \neq N$ 下，奇异值问题强解的存在性，该结果本身具有独立兴趣。
• 将 $L^\infty$ 变分问题理论从标量情形推广至向量情形，且适用于非凸 $\mathrm{H}$。

提出的方法

• 作者采用 $\mathcal{D}$-解框架，即基于 Hessian 测度与 Young 测度的弱*极限的广义解概念。
• 他们利用贝尔纲方法在 $W^{1,\infty}$-满射空间中构造解。
• 关键技术环节是为 $\mathrm{H}$-指定梯度且满足 $n \neq N$ 的奇异值问题构造强解。
• 该方法依赖于测试函数紧支集的性质，以及 $L^1$ 中对偶配对的弱*强连续性。
• 证明过程涉及通过一列正则化问题逼近原系统，并利用 $L^1$ 收敛性与 $\mathrm{A}_{\infty}$-算子的结构取极限。
• 分析中利用了正交投影 $[\mathrm{H}_P]^\perp$ 与 $\mathrm{A}_{\infty}$-算子的张量结构，以处理不连续系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 $\mathrm{H}$ 凸性的情况下，为向量值 $L^\infty$ 变分问题构造 $\mathcal{D}$-解？
• RQ2 奇异值问题在构造 $L^\infty$ 中全非线性系统广义解的过程中起何作用？
• RQ3 $\mathcal{D}$-解与标量情形（$N=1$）下的粘性解有何关系？
• RQ4 $C^1$ 的 $\mathcal{D}$-解是否在经典变分意义下为本质范数泛函的临界点？
• RQ5 能否通过贝尔纲方法在一般维度 $n \neq N$ 下求解 $\mathrm{A}_{\infty}$-系统？

主要发现

• 本文证明了对任意 $C^2$ 哈密顿量 $\mathrm{H}$，$\mathrm{A}_{\infty}$-系统均存在 $\mathcal{D}$-解，即使 $\mathrm{H}$ 不具凸性。
• 所构造的 $\mathcal{D}$-解为 $W^{1,\infty}$-满射，确保梯度的正则性与满射性。
• 首次证明了在一般维度 $n \neq N$ 下，奇异值问题强解的存在性，此结果是整个构造的核心。
• 贝尔纲方法中逼近序列的极限在 $L^1$ 中收敛，且保持对偶配对性质，从而实现弱*意义下的极限传递。
• $\mathcal{D}$-解概念被证明与 $L^\infty$ 泛函的变分结构一致，即使经典临界点概念失效亦然。
• 该方法避免了对凸性或强制性的要求，因此适用于一大类非凸 $\mathrm{H}$，包括 $\infty$-拉普拉斯系统。