[论文解读] On the Subgroups of Right Angled Artin Groups and Mapping Class Groups

Martin R. Bridson|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文证明，对于足够高亏格的曲面，其映射类群包含具有不可解同构、共轭和成员问题的有限表示子群——这些结果通过将具有不可判定决策问题的右-angled Artin群（RAAGs）嵌入映射类群而得出。此外，该研究还表明，此类子群可具有指数级德恩函数，以及无限多个扭元素的共轭类。

ABSTRACT

There exist right angled Artin groups $A$ such that the isomorphism problem for finitely presented subgroups of $A$ is unsolvable, and for certain finitely presented subgroups the conjugacy and membership problems are unsolvable. It follows that if $S$ is a surface of finite type and the genus of $S$ is sufficiently large, then the corresponding decision problems for the mapping class group $Mod(S)$ are unsolvable. Every virtually special group embeds in the mapping class group of infinitely many closed surfaces. Examples are given of finitely presented subgroups of mapping class groups that have infinitely many conjugacy classes of torsion elements.

研究动机与目标

• 解决关于映射类群有限表示子群中群论问题可判定性的长期悬而未决问题。
• 证明当曲面亏格足够大时，某些映射类群有限表示子群的同构、共轭和成员问题不可解。
• 表明几乎所有特殊群可嵌入无限多个闭曲面的映射类群中，从而扩展了已知的子群结构范围。
• 构造映射类群中具有无限多个扭元素共轭类的有限表示子群，这一现象在托里利子群中并不存在。
• 通过展示具有指数级德恩函数的实例，分析此类子群中词问题的几何复杂性。

提出的方法

• 利用几何群论和1-2-3定理的结果，将具有不可判定决策问题的右-angled Artin群（RAAGs）嵌入映射类群。
• 利用每个几乎特殊群均可嵌入RAAG的性质，从而可嵌入无限多个闭曲面的映射类群中。
• 应用Haglund和Wise的Rips构造，以及Bridson和Miller关于双曲群子直积同构问题的研究。
• 通过映射类群中SL(2,Z)子群的直积构造具体实例，这些子群是几乎自由的，并可嵌入高亏格曲面中。
• 将双曲3-流形基本群的子群的德恩函数分析应用于RAAG，该子群具有指数级德恩函数并可嵌入RAAG。
• 通过有限指数子群和嵌入定理，将RAAG中的不可判定性和复杂性结果传递至映射类群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于高亏格曲面的映射类群的所有有限表示子群，其同构、共轭和成员问题是否均可解？
• RQ2 映射类群的有限表示子群是否可具有无限多个扭元素的共轭类？
• RQ3 映射类群的有限表示子群是否必然具有多项式或二次德恩函数？
• RQ4 几乎所有特殊群是否可嵌入无限多个闭曲面的映射类群中？
• RQ5 RAAG是否包含具有指数级德恩函数的有限表示子群？

主要发现

• 对于足够高亏格的曲面，映射类群有限表示子群的同构问题不可解。
• 存在映射类群中具有不可解共轭问题和成员问题的有限表示子群。
• 映射类群的有限表示子群可具有指数级德恩函数，该结论通过基于双曲3-流形群的构造得以证明。
• 决策问题中的不可判定现象已存在于托里利子群中，因为RAAG嵌入可被选择位于其中。
• 映射类群的有限表示子群可包含无限多个扭元素的共轭类，这一性质在无扭的托里利子群中并不存在。
• 每个几乎所有特殊群均可嵌入无限多个闭曲面的映射类群中，显著扩展了已知可嵌入群的类别。